He tenido algunos problemas con un determinado ejercicio, se le ocurrió una solución, pero no estoy seguro de que es correcto.
Ejercicio ("MURPHY, C*-Álgebras y Operador de la Teoría", Capítulo 2, ejercicio 1) Vamos a $A$ ser un álgebra de Banach tal que para todos los $a\in A$, la implicación de $$Aa=0\text{ or }aA=0\Rightarrow a=0\qquad (1)$$ sostiene. Deje $L,R$ ser lineal asignaciones de $A$ a, tal que para todos los $a,b\in A$, $$L(ab)=L(a)b,\quad R(ab)=aR(b),\qquad (2)$$ $$\text{and } R(a)b=aL(b).\qquad (3)$$ Mostrar que $L$ $R$ son necesariamente continuas.
Un doble centralizador en un álgebra de Banach se define como un par de $(L,R)$ de los delimitada lineal mapas de $A$ a sí mismo cumpla con las condiciones (2) y (3). Este ejercicio muestra que si el álgebra de Banach que satisface la condición (1) (por ejemplo, si es una C*-álgebra), entonces acotamiento es consecuencia de (2) y (3).
Pasé bastante tiempo tratando de resolver esto. A continuación,
Solución: Por Cerrado el Teorema de la Gráfica, para mostrar que $L$ es continua, basta para mostrar que para cada secuencia $\left\{x_n\right\}\subseteq A$ tal que $x_n\rightarrow 0$ que $\left\{L(x_n)\right\}$ también converge, entonces $\lim L(x_n)=0$.
Deje $x_n\rightarrow 0$$L(x_n)\rightarrow y$$A$. A continuación, para cada $n\in\mathbb{N}$, y para cada $b\in A$, $$bL(x_n)=R(b)x_n,\quad\text{ by (3)}.$$ Tomando $n\rightarrow\infty$, tenemos, para cada $b\in A$, $$by=R(b)0=0,$$ es decir, $Ay=0$. Por (1), esto implica que $y=0$.
La continuidad de la $R$ se demuestra de manera similar. Q. E. D.
Ahora, el problema es que yo no uso la condición (2), y que parece demasiado fuerte. Hay algún problema con mi razonamiento? Gracias.
EDITAR (ver Martin respuesta): me acabo de enterar de que (1) y (3) implica (2). Esto explica por qué (2) no fue utilizado anteriormente. Vamos a mostrar esto:
Supongamos $A$ es un álgebra (no necesariamente normativa) que satisface (1) y deje $L,R$ ser lineal mapas de $A$ $A$satisfactorio (3).
Deje $a,b\in A$. A continuación, para cada $c\in A$, $$c(L(ab)-L(a)b)=cL(ab)-cL(a)b\overset{(3)}{=}R(c)(ab)-(R(c)a)b=R(c)ab-R(c)ab=0.$$ A continuación,$A(L(ab)-L(a)b)=0$, por lo tanto, por (1), $L(ab)=L(a)b$, para cada $a,b\in A$. Del mismo modo, $R(ab)=aR(b)$ por cada $a,b\in A$. Por lo tanto, (2) se mantiene.
