Para $b=1$, la tortuga sólo puede llegar a puntos equidistantes dentro de un rayo;
se puede mover hacia atrás, de modo que en caso de no ceder un grupo.
En el siguiente voy a suponer que $b$ es un número entero mayor que $1$.
Que la tortuga empezar a $0$ en el plano complejo con dirección a $1$.
Hay exactamente $b$ direcciones posibles para la tortuga,
y podemos representar esas direcciones como
$\zeta_b^k = \exp(\mathrm{i}k\delta)
= \exp\left(\frac{2\pi\mathrm{i}k}{b}\right)$
para $k\in\{0,\ldots,b-1\}$.
Para cada dirección $\zeta_b^k$ podemos mantener un contador de pasos
$a_k\in\mathbb{N}_0$ que se incrementa cada vez que la tortuga pasos
en esa dirección.
A continuación, la tortuga, la posición puede ser dado como
$$z = \sum_{k=0}^{b-1} a_k\zeta_b^k$$
Afirmo que el conjunto de todas las posibles $z$ permanece sin cambios
si permitimos que la negativa de valores enteros para el$a_k$.
En otras palabras, el equivalente de atrás se mueve es posible.
Esto puede deducirse del hecho de que
$$\sum_{k=0}^{b-1} \zeta_b^k = 0\quad\text{for $b>1$}$$
(Tenga en cuenta que esto requiere de $b>1$ cual es la razón por la que el caso tenía que ser separados.)
Concretamente, vamos a $a_{\text{min}} = \min_{k=0,\ldots,b-1} a_k$, luego
$$\sum_{k=0}^{b-1} \underbrace{(a_k - a_{\text{min}})}_{\geq0}\,\zeta_b^k
= \underbrace{\left(\sum_{k=0}^{b-1} a_k\zeta_b^k\right)}_z
- a_{\text{min}}\underbrace{\sum_{k=0}^{b-1} \zeta_b^k}_0 = z$$
Así que podemos hacer todos los paso contadores no negativo mediante la adición de $-a_{\text{min}}$
a todos ellos, sin cambiar la posición de la tortuga $z$.
Como resultado, el conjunto de todas las posibles tortuga posiciones pueden ser identificados
con $\mathbb{Z}[\zeta_b]$, el anillo de todos los polinomios en la $\zeta_b$
con coeficientes enteros.
Otro hilo
da a conocer los casos al $\mathbb{Z}[\zeta_b]$ es denso en $\mathbb{C}$:
Desde $\zeta_b$ es un entero algebraico (que resuelve $X^b - 1 = 0$),
$\mathbb{Z}[\zeta_b]$ es denso en $\mathbb{C}$ si y sólo si
el grado de (el polinomio mínimo de) $\zeta_b$ $\mathbb{Q}$
es mayor que $2$.
El polinomio mínimo de a $\zeta_b$ $\mathbb{Q}$ es la
cyclotomic polinomio
$\Phi_b$, su grado es $\phi(b)$ donde $\phi$ es de Euler totient función:
$$\phi(b) = b\prod_{\substack{p\text{ prime}\\p\mid b}}\frac{p-1}{p}$$
$\phi(b)$ es un entero positivo,
tan sólo tenemos que excluir a los $b$ que $\phi(b)\in\{1,2\}$.
Estas son las $b \in \{1,2,3,4,6\}$; para ver que no hay más $b$,
tenga en cuenta que
- si $b$ tenía un divisor primo $p$ mayor que $3$, luego
$\phi(b)$ sería divisible por $p-1$, que es mayor que $2$;
- si $b$ fueron divisible por $2^3$ o $2^2\cdot3$,
a continuación, $\phi(b)$ sería divisible por $4$; y
- si $b$ fueron divisible por $3^2$,
a continuación, $\phi(b)$ sería divisible por $6$.
En consecuencia, $\mathbb{Z}[\zeta_b]$ es denso en $\mathbb{C}$ si y sólo si
$b\not\in\{1,2,3,4,6\}$.
@Rahul ha indicado otro enfoque que puede parecer más fácil de comprender:
Obviamente, $b>2$ es necesario y suficiente para que la tortuga se mueva en más de
una dimensión. Así que supongamos $b>2$.
Tenga en cuenta que $+F--F+$ avanza $2\cos\delta$.
La sustitución de $F$ $(+F)^{b-1}+$ se desplaza hacia atrás en su lugar.
Por lo que efectivamente se puede mover en la dirección de la corriente con cualquier tamaño de paso
de la $\mathbb{Z}$-intervalo de $1$$2\cos\delta$.
Por lo tanto, si $\cos\delta\not\in\mathbb{Q}$, el de
tamaños de paso es denso en $\mathbb{R}$. Combinado con la capacidad para moverse en
más de una dimensión de una vez $b>2$, esto hace que el conjunto de accesible tortuga
posiciones denso en $\mathbb{R}^2$ si $\cos\delta$ es irracional.
En otro hilo,
un útil lema ha sido:
Si $\frac{\delta}{\pi}$ es racional, entonces $2\cos\delta$ es un entero algebraico.
Prueba: Asumiendo $\frac{3\delta}{\pi}=\frac{c}{n}$
con $c,n$ coprime enteros y $n>0$, tenemos
$$2\cos(n\delta)=2\cos\frac{c\pi}{3}=u
\quad\text{para algunas de}\quad u\en\{\pm1,\pm2\}$$ y
$$2\cos(n\delta) = D_n(x)\quad\text{where}\quad x = 2\cos\delta\tag{*}$$
donde el $D_n(x)$ son Dickson polinomios de la primera clase
(con el segundo parámetro de $\alpha=1$).
Su característica esencial es
$$D_n\left(z+\frac{1}{z}\right) = z^n + \frac{1}{z^n}$$
Establecimiento $z=\exp(\mathrm{i}\delta)$ rendimientos $(*)$.
Los Dickson polinomios se pueden definir de forma recursiva como
$$\begin{align}
D_0(x) &= 2 \\
D_1(x) &= x \\
D_n(x) &= x\,D_{n-1}(x) - D_{n-2}(x) &&\text{for %#%#%}
\end{align}$$
Por inducción podemos ver que el Dickson polinomio $n>1$ ha integral
los coeficientes de grado $D_n$ y es monic para $n$.
Lo mismo vale para los $n>0$ (al menos para$D_n(x) - u$, lo que suponemos),
una raíz de la que es $n>0$.
Por lo tanto, $x=2\cos\delta$ es un entero algebraico.
En consecuencia,
si $2\cos\delta$ es racional, entonces $\cos\delta$ debe ser un entero.
Desde $2\cos\delta$ está limitada a no exceder el valor absoluto $\cos\delta$,
las únicas posibilidades son $1$
que corresponden a $2\cos\delta\in\{-2,-1,0,1,2\}$.
Todos los otros $b\in\{2,3,4,6,1\}$ por lo tanto el rendimiento irracional $b$
y el resultado en la posición de la tortuga establece que son densos en $\cos\delta$.
