Todas las funciones continuas $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfacción $n^2 \int_x ^{x + {1\over n}} f(t)\,dt = nf(x) + {1\over2}$?

Question

Como la pregunta sugiere su título, ¿cuáles son todas las funciones continuas $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfactorio$$n^2 \int_x^{x + {1\over n}} f(t)\,dt = nf(x) + {1\over2},$$for any $x \in \mathbb{R}$ and any positive integer $n$, $n \ge 2$?

Answer 1

Como $f$ es continua en a $\mathbb{R}$, considere la posibilidad de una antiderivada $F$. La relación dada es equivalente a$$n^2\left(F\left(x + {1\over n}\right) - F(x)\right) = nf(x) + {1\over2},\tag*{$(1)$}$$for any $x \in \mathbb{R}$ and all $n \in \mathbb{N}$.

Como consecuencia, $f$ ha finito derivada en cualquier punto. Tomando derivados en $(1)$, obtenemos$$n\left(f\left(x + {1\over n}\right) - f(x)\right) = f'(x)\tag*{$(2)$}$$for $x \in \mathbb{R}$ and $n \in \mathbb{N}$.

De $(2)$ se sigue que $f$ es dos veces diferenciable y la siguiente relación se mantiene$$n\left(f'\left(x + {1\over n}\right) - f'(x)\right) = f^{\prime\prime}(x),$$implying that $f^{\prime\prime}$ es continua.

Considere la posibilidad de $x \in \mathbb{R}$. Por el valor medio teorema, la relación del $(2)$ implica la existencia de un punto de $c_n = c_n(x) \in (x, x + {1\over n})$$f'(c_n) = f'(x)$. Por el teorema de Rolle, para $f'$ en el intervalo con extremos de $x$$c_n$, obtenemos un punto de $\zeta_n$ pertenecen al intervalo con extremos de $x$ $c_n$ y tiene la propiedad de que$$f^{\prime\prime}(\zeta_n) = 0.\tag*{$(3)$}$$As $\lim_{n \to \infty} \zeta_n = x$, the continuity of $f^{\prime\prime}$, and $(3)$, give together$$f^{\prime\prime}(x) = \lim_{n \to \infty} f^{\prime\prime}(\zeta_n) = 0.$$As $x$ was arbitrary, we deduce that $f$ has the form $f(x) = ax + b$, where $$, $b \in \mathbb{R}$. Substituting in the given relation, we find $a = 1$.

Llegamos a la conclusión de $f(x) = x + b$, $b$ arbitrarias.

Answer 2

Por el trapecio, regla, el lado izquierdo es $\frac{n}2(f(x)+f(x+\frac1n))+O(\frac1n)$. Combinado con el lado derecho $$ n\left(f\Bigl(x+\frac1n\Bigr)-f(x)\right)=1+O(\frac1n) $$ En el límite de $n\to\infty$, esto le da a $f'(x)=1$. El supuesto para el término de error de la regla trapezoidal es $f\in C^2$.

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Sin diferenciación, considere la posibilidad de $g(x)=f(x)-x$. Entonces $$ n^2\int_x^{x+\frac1n}g(t)dt=nf(x)+\frac12-\frac12(2nx+1)=ng(x). $$ La combinación de dos intervalos de la mitad de la longitud de los resultados en $$ g(x)=n\int_x^{x+\frac1n}g(t)dt=\frac12·2n\int_x^{x+\frac1{2n}}g(t)dt+\frac12·2n\int_{x+\frac1{2n}}^{x+\frac1{n}}g(t)dt \\ =\frac12\Bigl(g(x)+g\Bigl(x+\frac1{2n}\Bigr)\Bigr) $$ o en corto $$ g(x)=g\Bigl(x+\frac1{2n}\Bigr)=...=g\Bigl(x+\frac{k}{2n}\Bigr) \quad\forall k\in\Bbb Z $$ Ahora combinar estos resultado para todos diádica $n=2^m$ conseguir $g$ constante en un subconjunto denso de $\Bbb R$. Por la continuidad, $g$ tiene que ser una función constante.

Answer 3

Como $\;f\;$ es continua tiene una primitiva de la función en cualquier delimitada integral, decir $\;F\;$ , y por lo tanto:

$$\int_x^{x+\frac1n}f(t)dt=F\left(x+\frac1n\right)-F(x)$$

así que queremos comprobar si la siguiente igualdad es verdadera:

$$n^2\left(F\left(x+\frac1n\right)-F(x)\right)=nf(x)+\frac12$$

Pero podemos escribir

$$n^2\left(F\left(x+\frac1n\right)-F(x)\right)=n\frac{F\left(x+\frac1n\right)-F(x)}{\frac1n\left(=x+\frac1n-x\right)}\stackrel{MVT}=nF'(t)=nf(a)\;,\;\;a\in\left[x,\,x+\frac1n\right]$$

Así que, de hecho, la necesidad de que

$$nf(a)=nf(x)+\frac12$$

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