¿Cuál es el primer dígito de la izquierda de $(2016)!$

Question

¿Cuál es el primer dígito de la izquierda de $(2016)!$

Traté de usar la fórmula de Stirling $$n!\approx \dfrac{n^n}{e^n}\sqrt{2n\pi},$$ but I only could find the number of the digits, I didn't get the first digit. So how to calculate by hand that the first digit is $2?$

el uso de WA:2325849581803\cdots

Answer 1

Se aplican $\log_{10}$ $n!\approx \dfrac{n^n}{e^n}\sqrt{2n\pi}$y obtener $$ \log_{10}(n!) \aprox n (\log_{10}(n)-\log_{10}(e))+\frac12(\log_{10}(2 \pi)+\log_{10}(n)) $$ Evaluar esta para $n=2016$ y obtener $$ \log_{10}(2016!) \aprox 5788.36656 $$ El valor exacto es$5788.36658\cdots$, pero con dos decimales son suficientes: $$ \log_{10}2 \aprox 0.3 < 0.36 < 0.4 < \log_{10}3 $$ y así, el primer dígito es $2$.

Este cálculo se puede hacer con una calculadora o en punto flotante con un equipo (que es lo que yo he usado), pero a Stirling aproximación no puede ser utilizado directamente porque desborda hasta el infinito.

Podemos confiar $\log_{10}(2016!) \approx 5788.36$ debido a que el siguiente término en la (alternando) Stirling serie de $\ln n!$$\dfrac{1}{12n}$,$0.00004\cdots$$n=2016$. Multiplicando por $\log_{10}(e)$, esto le da un error máximo de $0.0002\cdots$$\log_{10}(2016!)$.