hallazgo $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2n+1}}$

Question

Necesito calcular: $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2n+1}}$.

Mi Intento: $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2n+1}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2s}{s}=2$.

Es esto correcto?

Gracias.

Answer 1

Por el Stolz-Cesaro teorema de http://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2%80%93Ces%C3%A0ro_theorem, $$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{2n+3}}=2.$$

Answer 2

Sugerencia

El numerador es $H_n$ y el denominador es $H_{2n+1}-\frac12H_n$.

También,

$$\frac{H_n}{H_{2n+1}-\frac12H_n}=\frac1{-\frac12+\frac{H_{2n+1}}{H_n}}$$

y $$H_n\sim\ln n$$

Answer 3

Si el numerador es siempre dos veces el denominador, entonces esto funciona siempre y cuando incluya una prueba de ello. Vamos a intentarlo al $n=2$: $$ \frac{1+\frac12}{1+\frac13+\frac15} = \frac{30+15}{30+10+6}= \frac{45}{46}\ne 2. $$ Vamos a intentarlo al $n=3$: $$ \frac{1+\frac12+\frac13}{1+\frac 13+\frac15+\frac17}= \frac{210+105+70}{210+70+42+30} = \frac{385}{352} \ne 2. $$

Answer 4

Con la de Euler-MacLaurin de la fórmula, tenemos

numerador = $\ln(n)+O(1)$ y el denominador = $\frac12 \ln(2n+1) + O(1)$, por lo que el límite es

$\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(n)+O(1)}{\frac12 \ln(2n+1) + O(1)}= 2.$