X,Y son independientes de la normal estándar distribuidas entonces, ¿cuál es la distribución de $\frac{X}{X+Y}$

Question

X, Y son independientes aleatoria normal estándar de las variables, ¿cuál es la distribución de $$ \frac{X}{X+Y} $$

Alguien podría ayudarme con esto? Gracias.

---

He trabajado el problema por multivariable de transformación:

Deje $$Z=\frac{X}{X+Y} , W=X$$

Considere la posibilidad de transformación de $$(X,Y)\longrightarrow(Z,W)$$

A continuación, $$X(Z,W)=W , Y(Z,W)=\frac{W(1-Z)}{Z}$ $ define la transformación inversa.

El Jacobiano es $$J(Z,W)=\frac{w}{z^{2}} $$

Por lo $$f_{Z,W}(z,w)=f_{X,Y}(w,\frac{w(1-z)}{z})\cdot\mid\frac{w}{z^{2}}\mid$$

Como X y y son independientes. A continuación, el marginal pdf de Z es $$f_{Z}(z)=\intop_{0}^{\infty}\frac{w}{z^{2}}\cdot f_{X}(w)\cdot f_{Y}(\frac{w(1-z)}{z})dw+\intop_{-\infty}^{0}-\frac{w}{z^{2}}\cdot f_{X}(w)\cdot f_{Y}(\frac{w(1-z)}{z})dw$$ Después de que el cálculo obtenemos $$f_{Z}(z)=\frac{1}{\pi\cdot\frac{1}{2}\cdot(1+(\frac{z-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}})^{2})}$$

Por lo tanto $$Z\sim \mathrm{Cauchy}(\frac{1}{2},\frac{1}{2}).$$

Answer 1

Desde $X$ $Y$ son independientes de gauss estándar variables aleatorias, la distribución de $Z=\frac{X}{X+Y}$ tiene una densidad de $f_Z$, donde por cada $z$$\mathbb R$, $$ \color{red}{f_Z(z)=\frac1\pi\,\frac1{z^2+(1-z)^2}}. $$ El camino directo para probar esto (como se hace ahora por la OP) es confiar en el cambio de variables método ampliado aquí.

Uno puede deducir de la expresión de $f_Z$ que $Z=\frac12(1+T)$ donde $T$ es el estándar de Cauchy, es decir, la distribución de $T$ tiene una densidad de $f_T$, donde por cada $t$$\mathbb R$, $$ \color{color púrpura}{f_T(t)=\frac1\pi\,\frac1{1+t^2}}. $$ Pero las fórmulas para $f_Z$ $f_T$ también son consecuencias directas de dos hechos:

1. La relación de dos independientes de gauss estándar variables aleatorias es un estándar de Cauchy variable aleatoria.

2. Si $X$ $Y$ son independientes de gauss estándar variables aleatorias, entonces las variables aleatorias $\frac1{\sqrt2} (X+Y)$ $\frac1{\sqrt2}(X-Y)$ son independientes de gauss estándar variables aleatorias así.