¿Por qué es el electrón auto-medidor de energía dependiente?

Question

Deje $\psi(x)$ a ser el campo de la electrónica. Su transformada de Fourier en dos puntos de la función lee $$ \langle\psi\bar\psi\rangle=\frac{1}{\no p-m-\Sigma(\p)}. $$

Si calculamos $\Sigma(\not p)$, se observa que depende del calibre del parámetro $\xi$, lo que en principio no es un problema porque $\Sigma(\not p)$ no es observable por sí mismo.

Pero si pensamos en un medidor de transformación como la toma de $\psi\to\mathrm e^{i\alpha(x)}\psi(x)$, luego de dos puntos a la función que debe cumplir $$ \langle\psi\bar\psi\rangle\a \langle\psi\mathrm e^{i\alpha(x)}\mathrm e^{-i\alpha(x)}\bar\psi\rangle=\langle\psi\bar\psi\rangle $$

Por lo tanto, sería de esperar ingenuamente $\Sigma(\not p)$ a ser invariante gauge, y por lo tanto no debería depender de las $\xi$. ¿Cuál es la solución a esta contradicción? ¿Por qué nuestras expectativas no?

Answer 1

El propagador $S(p)$ es la transformada de Fourier de los dos puntos de función $S(x,y)=\langle\psi(x)\bar\psi(y)\rangle$, $$ S(p) = \int \frac{d^p}{(2\pi)^4} \, \exp(-ip\cdot(x-y)) \, S(x,y)\, . $$ Tenga en cuenta que debido a la invariancia de Lorentz $S(x,y)$ no depende de $x+y$. Claramente, los dos puntos de función no es local y no invariante gauge.

Answer 2

Como una alternativa a Thomas respuesta, se nota que si escribimos la transformación de la ley explícitamente, obtenemos $$ \langle\psi(x)\bar\psi(y)\rangle\a \langle\psi(x)\mathrm e^{i\alpha({\color{rojo}x})}\mathrm e^{-i\alpha({\color{rojo}y})}\bar\psi(y)\rangle=\mathrm e^{i(\alpha(x)-\alpha(y))}\langle\psi(x)\bar\psi(y)\rangle $$

Vemos que los dos puntos de función no puede ser invariante gauge debido a que los campos son evaluados en diferentes puntos y por lo tanto las fases locales no cancelar el uno del otro. Esto no era evidente en el OP porque no escribí el espacio-tiempo explícitamente las etiquetas. Tonto de mí.