Mundial de la simetría del espacio de Minkowski (si) se mide a la diffeomorphism la invariancia de la relatividad general?

Question

Espacio de Minkowski tiene tanto de traslación y simetría de Lorentz, que en conjunto dan de Poincaré simetría. (También tiene algunas simetrías discretas como la paridad y el tiempo de reversión que yo no voy a estar preocupado.) En algunos sentidos, parece natural pensar de la diffeomorphism invariancia/general covarianza de la relatividad general como la "medir" la versión de algunas de estas simetrías. Pero ¿cuáles?

1) El principio de equivalencia se dice a menudo como "el espacio-tiempo siempre se ve local como espacio de Minkowski," o "el valor de un escalar por la ingestión de Lorentz-tensores covariantes en el mismo punto en el espacio-tiempo es coordinar los invariantes", o algo a lo largo de esas líneas. A mí me parece que si sólo mira un infinitesimal parche de espacio-tiempo, entonces usted no puede realmente hablar de la invariancia traslacional (que se mueve fuera de la revisión), por lo que el grupo de simetría de esa pequeña región del espacio-tiempo debe ser considerado como el grupo de Lorentz en lugar de que el grupo de Poincaré. Si la simetría de Lorentz ahora tiene localmente en cada punto en el espacio-tiempo, entonces se puede decir que hemos "medir" la Lorentz grupo.

2) Por otro lado, el "conservado actual" en GR es el local de la conservación de la tensión de la energía tensor $\nabla_\mu T^{\mu \nu} = 0$.

(Sé que esto va a desencadenar un torrente de comentarios sobre si g es una teoría de gauge, y Noether la primera vs segundo teorema, y las leyes de conservación que son matemáticos identidades frente a aquellos que sólo son válidas bajo las ecuaciones de movimiento, y así sucesivamente. Aquellos pregunta han sido golpeados hasta la muerte en este sitio ya, y no quiero abrir esa caja de Pandora. Digamos que hay una similitud formal entre el $J^\mu$ E&M y $T_{\mu \nu}$ en GR, en los que su conservación es trivialmente verdadera en virtud de las ecuaciones de movimiento $\partial_\nu F^{\mu \nu} = J^\mu$ $G_{\mu \nu} \propto T_{\mu \nu}$ y dejarlo en eso.)

Pero esto es sólo el diffeomorphism-covariante versión del resultado $\partial_\mu T^{\mu \nu} = 0$ en Minkowski-espacio de la teoría de campo, que es la Noether corriente correspondiente a la traslación de la simetría (Como contraposición a la generalizada del momento angular, que corresponde a la simetría de Lorentz.) Esto parece implicar que la interpretación natural de diffeomorphism invariancia es como el calibrado de la versión de traslación de la simetría.

Es más natural pensar de diffeomorphism la invariancia (o, en general, la covarianza de GR, que dependiendo de sus definiciones pueden o no pueden ser la misma cosa) como el calibrado de la versión de (a) simetría de Lorentz o (b) simetría traslacional? O (c) ambos (es decir, de Poincaré simetría)? O (d) ninguno de los dos, y estos son sólo vagas analogías que no puede ser rigurosa? Si (a) o (b), entonces ¿por qué sólo una adecuada subgrupo del grupo de Poincaré obtener mide? Y si (c), entonces ¿por qué sólo la traslación de parte de el grupo gauge parece corresponder a una conservado actual?

(Por CIERTO, estoy buscando un alto nivel conceptual respuesta, más bien que uno con una gran cantidad de matemáticas jerga.)

Answer 1

En primer lugar, la relatividad general es no una teoría de gauge en el sentido estrecho (de tener un medidor de campo) si se considera el segundo-orden de formalismo en el cual sólo la métrica es dinámico. La acción de Einstein-Hilbert concebido como una acción donde la única dinámico campo de la es $g$ todavía tiene el espacio-tiempo dependiente de simetrías ($\mathrm{GL}(n)$valores de las transformaciones que actúa como el Jacobians de diffeomorphisms en todos los campos), por lo que tiene medidor de simetrías y, en consecuencia, medidor de libertad (por ejemplo, el que se utiliza a continuación, en la vuelta de conexión formalismo "diagonalize la métrica" en cada punto), pero no tiene una dinámica medidor de campo. Sin embargo, hay (al menos) dos maneras de formular la teoría de la acción de Einstein-Hilbert en términos de un medidor de campo:

La relatividad General es una teoría de gauge, ya sea con el grupo lineal general $\mathrm{GL}(n)$ o el grupo de Lorentz $\mathrm{SO}(n-1,1)$ jugando el papel del grupo gauge, dependiendo de su formulación, si usted está dispuesto a relajarse por lo general el requisito estricto que sólo gauge invariantes en las cantidades son físicamente significativa -, mientras que invariante de Lorentz cantidades son más útiles en los cálculos que, por ejemplo, vectores, nadie reclamaciones que usted no puede medir un vector en un marco determinado. Además, GR es no un "libre" teoría de gauge (en el sentido de Yang-Mills o Chern-Simons), junto a algo, el medidor de campo es nunca el único dinámico de la variable, pero siempre junto a la métrica o la vielbein, así que no hay otro sentido en el que no se ajustan a nuestra noción usual de la teoría de gauge.

Las dos formulaciones son como sigue:

1. Clásica (Palatini) formalismo: En el primer orden de la formulación (Palatini formalismo, por lo que también esta pregunta) de GR, la dinámica de los campos son de la métrica y los símbolos de Christoffel. El examen de la transformación del comportamiento de la Christoffels (como hago yo en esta respuesta), es sencillo ver que se transforman precisamente como un $\mathrm{GL}(n)$-medidor de campo. Más bien, es fundamental señalar que diffeomorphism invariancia no es el mismo que mide $\mathrm{GL}(n)$invariancia - el primero es un aspecto básico de todas las "coordenadas-invariante de la física", mientras que el segundo esencialmente surge debido a que el escalar de Ricci en la acción de Einstein-Hilbert es análoga a la de gauge invariantes $\mathrm{Tr}(F)$ términos ordinario medidor de teorías. Sí, esto se afirma a menudo que lo contrario, y sí, estoy seguro de que diffeomorphisms son no mide las versiones de nada. Sin embargo, diffeomorphisms inducir $\mathrm{GL}(n)$ medidor de transformaciones a través de sus Jacobians, ver de nuevo la respuesta acerca de la transformación del comportamiento de la Christoffels he enlazado más arriba.

2. Spin conexión formalismo: en Lugar de concebir el de la tangente bundle como asociado a un $\mathrm{GL}(n)$-marco de paquete, con un colector de la firma $p,q$ tiene, naturalmente, una reducción del marco de un lote a un $\mathrm{SO}(p,q)$ marco de paquete, que se puede pensar sólo como el paquete de todas las bases ortonormales con respecto a los métrica de la firma $p,q$, mientras que el $\mathrm{GL}(n)$ paquete es el paquete de todas las bases. El físico sabe que esta reducción como la tetrad o vielbein formalismo, y que nos permite reducir el $\mathfrak{gl}(n)$valores de medidor de campo $\Gamma$ que es la Christoffels a un $\mathfrak{so}(p,q)$valores de medidor de campo que está a la vuelta de la conexión de $\omega$, esencialmente por una suave elección de ortonormales (no-coordinar) base de todo el espacio-tiempo, que voy a explicar un poco más de detalle en esta respuesta. La dinámica de los campos en la vuelta de conexión formalismo están a la vuelta de la conexión y la vielbein.

Como pruebas complementarias que el lema de que "diffeomorphism invariancia es un indicador de la invariancia" es falso, los insto a considerar que el común de Yang-Mills teoría es también perfectamente "diffeomorphism invariantes": El Yang-Mills acción $$ \int_M \mathrm{tr}(F\wedge{\star}F)$$ no tiene dependencia de coordenadas absoluto, no es más o menos "diffeomorphism invariantes" de la acción de Einstein-Hilbert. El significado de "diffeomorphism invariancia" en GR realidad es mucho más que eso, como he dicho anteriormente, el Jacobians de diffeomorphisms son la fuente natural para el indicador de las transformaciones de la Christoffels, y que la teoría sería también por separado invariante justo debajo de la $\mathrm{GL}(n)$ transformaciones sin tener en cuenta subyacente diffeomorphism.

Answer 2

Como un suplemento a ACuriousMind la respuesta, me gustaría señalar que no es, literalmente, cero contenido en diffeomorphism invariancia o "locales" $U(1)$ invariancia" ni nada por el estilo.

El verdadero diablo detrás de la escena de fondo de la independencia, cuando debidamente interpretado.

Cualquier sistema que se compone de los campos locales en un colector, hay diffeomorphism invariancia. La mecánica clásica es diffeomorphism-invariante. Electrodinámica clásica es diffeomorphism-invariante. Usted puede hacer casi cualquier cosa que se utiliza un suave colector como un fondo de arena diffeomorphism-invariante.

Para las teorías que implican a nivel mundial objetos lineales (impulso vectores, etc.), esto es más difícil, porque diffeomorphisms puede matar a la estructura lineal de un espacio vectorial, pero, a continuación, puede utilizar la densidad de los campos en lugar de "integral cantidades", que ahora son los campos locales y el problema se ha resuelto parcialmente.

Asimismo, el uso de escalar QED (antes de cuantización, así que realmente escalar CED pero con la materia campos) como un ejemplo, el mismo es cierto para los locales medidor de invariancia.

Tomemos un complejo de Klein-Gordon campo $$ \mathcal{L}=\partial^\mu\phi^\dagger\partial_\mu\phi+\phi^\dagger\phi. $$ (no estoy molestando con constantes.)

Usted aguda puede observar que, en este campo de la teoría es invariante bajo global $U(1)$ transformaciones, pero no locales, por lo que hacer el procedimiento habitual para introducir un indicador de la conexión de $$ D_\mu=\partial_\mu+iA_\mu. $$

El Lagrangiano $$ \mathcal L=(D^\mu\phi)^\dagger D_\mu\phi+\phi^\dagger\phi $$ is now local $U(1)$-invariante.

¿Tiene usted la electrodinámica ahora? Nope. Por ejemplo, en lugar de especificar un Lagrangiano para $A_\mu$, se puede proclamar que

• existe una interna de marco de referencia (por ejemplo. un medidor), en el que $A_\mu=0$.

Ahora, usted tiene un familiar de los internos de marcos de referencia, en el que $D_\mu=\partial_\mu$, y los miembros de esta familia están relacionados por calibre transforma $e^{i\chi}$ donde $\chi$ es una constante, ya que sabemos que $A$ se transforma a medida $A'=A+\mathrm d\chi$.

Pero como sabemos que existe un tal marco de referencia interno, absolutamente no tiene que pegarse con estos marcos. Por el contrario, podemos realizar un medidor de transformación de un marco de $e^{i\chi(x)}$, luego en el nuevo marco, $A'=\mathrm d\chi$, y tenemos que usar la derivada covariante $D_\mu=\partial_\mu+i\partial_\mu\chi$ para obtener resultados razonables.

Sin embargo, a continuación, calcular el curvatue forma y conseguir $$ F=\mathrm dA=\mathrm d\mathrm d\chi=0, $$ which shows that we don't have an electromagnetic field at all! Yet our theory is still locally $U(1)$-invariante.

La diferencia real que sucede cuando en lugar de especificar $A$ a ser cero o puro calibre, realizamos $A$ dinámicos y de imponer ecuaciones de campo!

Entonces, podemos decir que nuestra teoría del electromagnetismo de fondo es independiente, ya que, aunque no es una de las principales $U(1)$-paquete sobre el espacio-tiempo con una Ehresmann-conexión de $A$, la geometría de este director bundle no es a priori definido, debido a que nuestra conexión no es fijo, sino dinámico. De modo que la teoría que está en el fondo independiente.

Lo mismo es cierto para el GR independientemente de considerar diffeomorphism invariancia o no-absoluta-movimiento paralelo de marcos. Lo que nos da la gravedad no se diffeomorphism invariancia o local de Lorentz-invariancia, podemos hacer diffeomorphisms de espacio-tiempo de Minkowski o tomar en movimiento ortonormales de los cuadros en el espacio-tiempo de Minkowski, y entonces el espacio-tiempo de Minkowski todavía será plana y con ausencia de gravedad. Lo que nos da la gravedad es la especificación de este fondo de geometría desconocida, y proporcionando campo de las ecuaciones que rigen la dinámica de la misma.