Es el conjunto de todos los espacios topológicos más grande que el conjunto de todo espacio métrico?

Question

Me preguntaba derecho que, desde la noción de una topología es mucho más general que el de una métrica, y que "neighborhodness", si se quiere, y el concepto de la continuidad, es generalizada la idea de una topología. así es el conjunto de todos los espacios topológicos en realidad más grande que la de métrica espacios? en otras palabras, si $$\mathscr{T}=\{x|x \text{ is a topological space}\}$$ y si $$\mathscr{M}=\{x|x\text{ is a metric space}\}$$ then is $$\text{card}\mathscr{T}>\text{card}\mathscr{M}$$ o son iguales? en ambos casos, ¿cómo podemos demostrar que?

o tal vez los conjuntos de $\mathscr{T}$ $\mathscr{M}$ ni siquiera existen en todo similar a la forma en que el conjunto de todos los conjuntos no existe?

Answer 1

Como otros han mencionado, la colección de todos los espacios métricos y la colección de todos los espacios topológicos tanto de forma apropiada las clases, por lo que no podemos razonar sobre su tamaño mediante la cardinalidad.

Una pregunta similar que puede ser contestada es: dado un conjunto $X$, hay más topologías en $X$ de las métricas en $X$?

Para este fin, dado un conjunto $X$, vamos a $T(X)$ el conjunto de las topologías en $X$ y deje $M(X)$ el conjunto de métricas en $X$. (Por simplicidad, vamos a decir $X$ es infinito.) A continuación,$M(X) \subseteq \mathbb{R}^{X \times X}$; y $|\mathbb{R}^{X \times X}| = 2^{|X|}$, por lo que hay en la mayoría de las $2^{|X|}$ métricas en $X$; pero (como en esta respuesta) no se $2^{2^{|X|}}$ topologías en $X$.

Desde $2^{|X|} < 2^{2^{|X|}}$ para todos los conjuntos de $X$, se deduce que en cualquier conjunto infinito no son estrictamente más topologías de métricas.

Curiosamente, exactamente el opuesto es cierto para conjuntos finitos: si $X$ es finito, entonces hay una cantidad no numerable de métricas en $X$, pero sólo un número finito de topologías en $X$.

Answer 2

La clase de todos los conjuntos es bijective a la clase de todos los espacios métricos. Debido a que cada conjunto puede ser injectively asignado a la métrica del espacio a través de la trivial métrica y desde cada espacio métrico es un par de conjuntos no es inyectiva mapa de la clase de todos los espacios métricos de espaldas a la clase de todos los conjuntos.

Asimismo, desde la clase de todos los espacios topológicos es una subclase de la clase de todos los conjuntos no es un bijection entre ella y la clase de todos los espacios métricos.

Esta respuesta depende de Bernstein-Schröder teorema de explotación para la adecuada clases. Esto es no demostrable en ZFC porque ZFC no tiene el concepto de una clase adecuada (o bijections entre clases). Sin embargo, esto es cierto en los sistemas que tienen definiciones para la correcta clases y correspondencias entre ellos.

Answer 3

$\mathscr{T}$ $\mathscr{M}$ son adecuados clases en ZFC, no se establece. (También son adecuadas las clases en el conjunto de teorías que hablan sobre la forma correcta de clases explícitamente - von Neumann-Gödel-Bernays la teoría de conjuntos y Morse-Kelley teoría de conjuntos.)

De hecho, las dos clases puede ser puesto en correspondencia 1-1: véase la respuesta por Q el Ornitorrinco, que señala que el Schröder-Bernstein construcción aplicado a las inyecciones $V \leftrightarrows \mathscr{M}$ va a trabajar para producir un bijection $V \xrightarrow{\sim} \mathscr{M}$, y del mismo modo para $\mathscr{T}$.

Ninguna de estas clases puede ser bijected con un cardenal: un cardenal es un conjunto, y por el Axioma de Reemplazo, la imagen de un conjunto bajo una función es un conjunto. Por lo $card(\mathscr{T})$ $card(\mathscr{M})$ son simplemente indefinido.

No son las topologías que son no inducida por la métrica -, hay espacios que no son metrizable. En ese sentido, $\mathscr{T}$ es mayor que $\mathscr{M}$ - más precisamente, $\mathscr{T}$ correctamente incluye la clase de topologías inducidas por los miembros de $\mathscr{M}$.

Answer 4

He aquí una respuesta para el caso de finito de espacios: hay countably muchos finito de espacios topológicos hasta homeomorphism (debido a que cada conjunto finito sólo admite un número finito de topologías). Hay una cantidad no numerable de finito métrica espacios hasta isometría (porque sólo para un espacio con dos puntos de $x$ $y$ tiene una cantidad no numerable de opciones para $d(x, y)$).

Esto complementa Clive Newstead la respuesta: si miramos un determinado $X$: si $X$ es finito tiene más métricas de topologías, si es infinito tiene más topologías de métricas.

Answer 5

Las otras respuestas aquí reparto (correctamente) con la cardinalidad de preguntas acerca de las clases que usted está preguntando acerca de. No creo que esa es la manera de hacer la pregunta que parece ser de su interés. Tal vez usted quiere saber en qué sentido hay más espacios topológicos que la métrica de los espacios. Si esa es tu pregunta ...

Cada espacio métrico es un espacio topológico de una manera natural - una métrica determina una topología. (Métricas diferentes en el mismo espacio puede o no puede determinar la misma topología.) Pero hay espacios topológicos donde la topología no proviene de ninguna métrica. Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Metrization_theorem y http://mathoverflow.net/questions/52032/examples-of-non-metrizable-spaces para los ejemplos.