¿Puedes dividir un cuadrado en 5 regiones de área igual?

Question

Dado esta forma:

¿Es posible dividir el área cian en 5 formas de área igual?

tal que:

1. Cada forma sea la misma
2. Cada forma tenga un borde tocando el cuadrado rojo
3. Cada forma tenga un borde tocando el exterior.
4. Sin líneas diagonales.

Es razonablemente fácil cumplir con #2 y #3 siempre y cuando se viole #1

Y no creo que sea posible satisfacer realmente #1, y el hecho de que esté contenido dentro de un cuadrado sugiere que #1 no es satisfactorio dada la presencia de #2.

Aunque es solo un poco de diversión realmente =).

Contexto: Simplemente estaba ideando un plan de ciudad para una ciudad orientada a gremios para un mundo de Minecraft, y se hizo posible que quisiéramos 5 gremios, y la diversión de dar a cada gremio una región de área igual justa, junto con los 5 gremios teniendo un espacio compartido en el medio.

Las diagonales no son deseadas ya que dificultan dividir la tierra de manera justa y aplicar controles de región, ya que la mayoría de las cosas son rectangulares, incluidas las regiones.

Entonces, aunque puedes aproximarte aproximadamente a una diagonal con suficientes rectángulos, cuantos menos pasos, mejor.

Si no es posible

Por favor proporcione un razonamiento de por qué no.

Además

Sería interesante ver qué tipo de alternativas pueden idear las personas, quizás hay una forma óptima que resulte en que todas las formas sean geométricamente muy similares, a pesar de no ser idénticas.

Answer 1

¿Qué hay de la forma a continuación hecha en geogebra?

Answer 2

No creo que sea posible tener todas las formas idénticas, porque el criterio de "tocar el exterior" y "tocar el cuadrado interno" básicamente significa que debe haber al menos 5 bordes que corran desde el centro hacia el exterior.

Y debido a que es imposible dibujar 5 bordes desde un cuadrado de tal manera que todos los bordes salgan del cuadrado de una manera que se presenten como geométricamente iguales, el resto de la imagen se vuelve dependiente de este hecho.

Sin embargo, si se renuncia a la regla de "las formas son idénticas", esta es la mejor solución que he encontrado hasta ahora.

Lógica:

El área Cian es básicamente: $$ \begin{array}{cc} A_{cian} & = & A_{exterior} & - & A_{interno} \\ A_{cian} & = & 4,000 \times 4,000 & - & 400 \times 400 \\ A_{cian} & = & 15,840,000 \end{array} $$ Entonces cada uno debe ser

$$ \begin{array}{cc} A_{sección} & = & \frac{15,840,000}{5} \\ A_{sección} & = & 3,168,000 \end{array} $$

Es evidente que al menos una forma puede necesitar un borde desde el centro hasta el borde, por lo que rápidamente encuentras un rectángulo inicial de

$$ \begin{array}{cc} A_{sección} & = & \frac{W_{exterior}}{2} & - & \frac{W_{interno}}{2} & \times & y \\ A_{sección} & = & \frac{4000}{2} & - & \frac{400}{2} & \times & y \\ A_{sección} & = & 2000 & - & 200 & \times & y \\ A_{sección} & = & 1800 & & & \times & y \\ y & = & \frac{3,168,000}{1800} \\ y & = & 1760 \end{array} $$

A partir de ahí, básicamente se trató de cambiar la forma del perímetro manteniendo el mismo área, para lograr una especie de distribución equilibrada, lo cual es razonablemente fácil de hacer.

Después de haber creado 2 formas con ese proceso, duplicarlo fue bastante simple, y luego te queda un vacío que lógicamente será del mismo tamaño.

Para el caso de uso que teníamos, tener formas diferentes era aceptable, y esta combinación de formas fue lo suficientemente útil. Aunque alguien probablemente pueda encontrar una combinación de formas más similares.

(También verás que el arreglo se asemeja vagamente a un pentágono, pero con mucha menos regularidad)