Demostrar que $\int_{0}^{1} \sqrt[3]{\frac{\ln (1+x)}{x}}dx \int_{0}^{1}\sqrt[3]{\frac{\ln^2(1+x)}{x^2}}dx<\frac{\pi^{2}}{12}$

Question

Demostrar que $$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{\frac{\ln (1+x)}{x}}dx \int_{0}^{1}\sqrt[3]{\frac{\ln^2(1+x)}{x^2}}dx<\frac{\pi^{2}}{12}$$

Mi intento,

Por los Titulares de la desigualdad,

$$\int _{ 0 }^{ 1 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { \ln { ( } 1+x) }{ x } } dx<\left( \int _{ 0 }^{ 1 } \frac { \ln { ( } 1+x) }{ x } dx \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } }\left( \int _{ 0 }^{ 1 } 1^{ \frac { 3 }{ 2 } }dx \right) ^{ \frac { 2 }{ 3 } }$$

y $$\int _{ 0 }^{ 1 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { \ln { ^{ 2 } } (1+x) }{ x^{ 2 } } } dx<\left( \int _{ 0 }^{ 1 } \frac { \ln { ( } 1+x) }{ x } dx \right) ^{ \frac { 2 }{ 3 } }\left( \int _{ 0 }^{ 1 } 1^{ 3 }dx \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } }$$

$$=(\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{x}dx)^{\frac{2}{3}}$$

Por eso, $$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{\frac{\ln (1+x)}{x}}dx \int_{0}^{1}\sqrt[3]{\frac{\ln^2(1+x)}{x^2}}dx< \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{x}dx$$

$$=\int_{0}^{1}\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}x^{n-1}}{n}dx$$

$$=\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n} \int_{0}^{1}x^{n-1}dx$$

$$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$$

$$=\frac{\pi^{2}}{12}$$

Hay otra forma de solucionar esto sin el uso de los Titulares de la desigualdad?

Answer 1

Sí, los hay. Por ejemplo, podemos mirar en aproximaciones numéricas de las dos integrales que son al mismo tiempo los límites superiores para estas integrales y cuyo producto es un límite inferior para $\frac{\pi^{2}}{12}\approx0.822467$.

En primer lugar, hacemos la observación de que $f_1(x)=\sqrt[3]{\frac{\ln (1+x)}{x}}$ $f_2(x)=\sqrt[3]{\frac{\ln^2(1+x)}{x^2}}$ son funciones convexas en el intervalo de $[0,1]$ y continua en $x=0$ por la facilidad de los cálculos de los respectivos límites que dan $f_1(0)=f_2(0)=1$.

Debido a la convexidad, para cada una de las $a\in[0,1]$ cada integral es menor que el área de los dos trapecio cuya sommets se $(0,0),(0,1),(a,0),(a,f_i(a))$ $(a,0),(a,f_i(a), (1,0),(1,f_i(1)$ donde $i\in\{1,2\}$.

Cálculo de $a=1$ (sólo un trapecio para ambos $f_1$$f_2$) no da un buen resultado (vea la NOTA de abajo).

Tratando de con $a=0.5$ tenemos dos trapecios para cada integral y ESTO FUNCIONA!

Tenemos $$\int _{ 0 }^{ 1 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { \ln { ( } 1+x) }{ x } } dx\lt \frac{(f_1(0.5)+1)0.5}{2}+\frac{(f_1(0.5)+f_1(1))0.5}{2}=\frac{2f_1(0.5)+f_1(1)+1}{4}$$ $$\int _{ 0 }^{ 1 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { \ln { ^{ 2 } } (1+x) }{ x^{ 2 } } } dx\lt \frac{(f_2(0.5)+1)0.5}{2}+\frac{(f_2(0.5)+f_2(1))0.5}{2}=\frac{2f_2(0.5)+f_2(1)+1}{4}$$ Los valores a considerar son los $$f_1(0)=1;\space\space\space f_1(0.5)\approx 0.8696;\space\space\space f_1(1)\approx 0.8854\\f_2(0)=1;\space\space\space f_2(0.5)\approx0.8109;\space\space\space f_2(1)\approx0.7832$$ que dan

$$\int _{ 0 }^{ 1 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { \ln { ^{ 2 } } (1+x) }{ x^{ 2 } } } dx\lt 0.90615\\\int _{ 0 }^{ 1 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { \ln { ^{ 2 } } (1+x) }{ x^{ 2 } } } dx\lt 0.85125$ $ , Finalmente, $$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{\frac{\ln (1+x)}{x}}dx \int_{0}^{1}\sqrt[3]{\frac{\ln^2(1+x)}{x^2}}dx\lt0.90615 \text{ x}\space0.85125=0.771360<\frac{\pi^{2}}{12}\approx0.822467$$ $$\space$$

NOTA.-Para $a=1$ tendríamos sólo un trapecio, pero esto es más fácil de cálculo daría $$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{\frac{\ln (1+x)}{x}}dx \int_{0}^{1}\sqrt[3]{\frac{\ln^2(1+x)}{x^2}}dx\lt 0.84023$$ and this bound is greater than $\frac{\pi^{2}}{12}$. Fortunately with the two given trapezoids the result is achieved (if it were not so, we would have to consider two values for $un$ inside the open interval $0\lt x\lt1$ y tres trapecios y así sucesivamente hasta que llegamos a un buen enlazado como se desee). Todo esto es sólo una aproximación numérica de la integral de curso.