LCM es asociativo: $\ \text{lcm}(\text{lcm}(a,b),c)=\text{lcm}(a,\text{lcm}(b,c))$

Question

Definición: El mínimo común múltiplo de $a.b\in\Bbb{Z}$ es el más pequeño $k\in\Bbb{N}$ que es divisible por a y b .

Propuesta: $\text{lcm}(\text{lcm}(a,b),c)=\text{lcm}(a,\text{lcm}(b,c))\tag{2}$

Prueba: Queremos mostrar $\text{lcm}(\text{lcm}(a,b),c)\mid\text{lcm}(a,\text{lcm}(b,c))$ y $\text{lcm}(a,\text{lcm}(b,c))\mid \text{lcm}(\text{lcm}(a,b),c)$ tal que $\text{lcm}(\text{lcm}(a,b),c)=\text{lcm}(a,\text{lcm}(b,c))$ .

Dejemos que $k=\text{lcm}(\text{lcm}(a,b),c)$ entonces $c\mid k$ y $\text{lcm}(a,b)\mid k$ pero si dejamos que $l=\text{lcm}(a,b)$ entonces $a\mid l\,\,\text{and}\,\, b\mid l$ . Por lo tanto, $c\mid k\,\,,a\mid k\,\,\text{and}\,\, b\mid k$ pero luego $\text{lcm}(b,c)\mid k$ . Así, $\text{lcm}(a,\text{lcm}(b,c))\mid k$

Pregunta: ¿Tiene esto sentido, si es así puedo hacer lo mismo para $\text{lcm}(\text{lcm}(a,b),c)\mid \text{lcm}(a,\text{lcm}(b,c))$ ?

Answer 1

Sí, esa es la idea. De forma más sucinta, utilizando estos universal propiedades de lcm y el máximo,

$$\begin{eqnarray}\rm a,b\:\mid\, n&&\rm \iff [\,a,b\,]\,\mid\: n\quad\ for\ \quad [\,a,b] := \ lcm(a,b)\\ \\ \rm a,b \le n&&\rm \iff \lceil a,b\rceil\!\le n\quad\ for\ \quad \lceil a,b\rceil := max(a,b)\end{eqnarray}$$

obtenemos las dos pruebas siguientes, que tienen precisamente la misma forma

$$\begin{eqnarray} &&\rm[\ [\,a,b],\,c]\,\mid\, n\iff [\,a,b\,],c\,\mid\, n\iff a,b,c\,\mid \,n\iff a,[\,b,c\,]\,\mid\, n\iff [\,a,[\,b,c\,]\,]\,\mid\, n\\ \\ \rm &&\rm\lceil\lceil a,b\rceil,c\rceil\! \le\! n\iff \lceil a,b\rceil,c \le\! n\iff a,b,c \le\!n\iff a,\lceil b,c\rceil\! \le n\iff \lceil a,\lceil b,c\rceil\rceil\!\le n\end{eqnarray}$$

De hecho, la prueba lcm se transforma en la prueba max si se trabaja con exponentes en factorizaciones primos. Al final vemos que la asociatividad de cada una de estas operaciones se reduce a la asociatividad de la "lógica y", que está implícita en la notación empleada en los términos medios anteriores, es decir $\rm\: a,b,c\mid n\:$ significa $\rm\:a\mid n\:\land\: b\mid n\:\land\: c\mid n.\: $ Asociando ambas formas se obtienen las dos asociaciones lcm.

Answer 2

Sí, tienes toda la razón y puedes hacer lo mismo para la otra dirección.