La expansión de Taylor de $ \arccos ( \frac {1}{ \sqrt {2}}+x)$ , $ x \rightarrow0 $

Question

¿Cuál es el método para calcular la expansión de Taylor de $ \arccos ( \frac {1}{ \sqrt {2}}+x)$ , $ x \rightarrow0 $ ?

Answer 1

La fórmula del coseno de una diferencia produce $$ \begin {align} \cos ( \pi /4-y) &= \frac {1}{ \sqrt {2}} \cos (y)+ \frac {1}{ \sqrt {2}} \sin (y) \\ &= \frac {1}{ \sqrt {2}}+ \frac {1}{ \sqrt {2}}( \sin (y)+ \cos (y)-1) \\ &= \frac {1}{ \sqrt {2}}+x \tag {1} \end {align} $$ Notando que $x= \frac {1}{ \sqrt {2}}( \sin (y)+ \cos (y)-1)$ es fácil mostrar que $$ 2 \sqrt {2}x+2x^2= \sin (2y) \tag {2} $$ Ahora la serie para $ \sin ^{-1}(x)$ puede obtenerse integrando la serie para $ \dfrac {1}{ \sqrt {1-x^2}}$ . Usando el teorema del binomio, obtenemos $$ (1-x^2)^{- \frac {1}{2}}= \sum_ {k=0}^ \infty\binom {2k}{k} \frac {x^{2k}}{4^k} \tag {3} $$ Integrando $(3)$ tenemos $$ \sin ^{-1}(x)= \sum_ {k=0}^ \infty\frac {1}{2k+1} \binom {2k}{k} \frac {x^{2k+1}}{4^k} \tag {4} $$ Combinando $(1)$ , $(2)$ y $(4)$ tenemos que $$ \begin {align} \cos ^{-1} \left ( \frac {1}{ \sqrt {2}}+x \right ) &= \frac { \pi }{4}-y \\ &= \frac { \pi }{4}- \frac {1}{2} \sin ^{-1}(2 \sqrt {2}x+2x^2) \\ &= \frac { \pi }{4}- \frac {1}{2} \sum_ {k=0}^ \infty\frac {1}{2k+1} \binom {2k}{k} \frac {(2 \sqrt {2}x+2x^2)^{2k+1}}{4^k} \\ &= \frac { \pi }{4}- \sum_ {k=0}^ \infty\frac {1}{2k+1} \binom {2k}{k}( \sqrt {2}x+x^2)^{2k+1} \tag {5} \end {align} $$ Para conseguir $2n$ términos de la serie de Taylor para $ \cos ^{-1} \left ( \frac {1}{ \sqrt {2}}+x \right )$ Sólo necesitas $n$ términos de $(5)$ .

Una idea de último momento:

Una serie más bonita, que no involucra a todos los $ \sqrt {2}$ s sería $$ \cos ^{-1} \left ( \frac {1+x}{ \sqrt {2}} \right )= \frac { \pi }{4}- \sum_ {k=0}^ \infty\frac {1}{2k+1} \binom {2k}{k}(x+ \tfrac {1}{2}x^2)^{2k+1} $$

Answer 2

Como ya lo señaló Robjohn, es más agradable considerar $ \arccos\left ( \frac {1+x}{ \sqrt {2}} \right ) = \frac { \pi }{4} + \delta (x)$ . Por simple diferenciación: $$ \delta ^ \prime (x) = - \frac {1}{ \sqrt {1-2 x - x^2}} = - \sum_ {n=0}^ \infty i^n P_n(-i) x^n $$ La última igualdad se deriva de la función generadora de la secuencia de Polinomios Legendre . Por lo tanto $$ \arccos\left ( \frac {1+x}{ \sqrt {2}} \right ) = \frac { \pi }{4} - \sum_ {n=0}^ \infty \frac {i^n P_n(-i)}{n+1} x^{n+1} $$

Verificación:

In[151]:= 
ArcCos[(1 + x)/Sqrt[2]] + O[x]^51 == 
 Pi/4 - Sum[I^n LegendreP[n, -I]/(n + 1) x^(n + 1), {n, 0, 50}] + 
  O[x]^51

Out[151]= True

Answer 3

Echa un vistazo a Lista de la serie de Maclaurin de algunas funciones comunes . Y aquí es cómo obtener la serie de Taylor para $f(x) = \arcsin x$ .