Tienes toda la razón, las dos definiciones son equivalentes. He aquí mi punto de vista sobre las diferencias en las definiciones de la regularidad, y por qué la bandera de la transitividad es superior, en general.
En dos dimensiones:
Los polígonos regulares son aquellos que tienen igual bordes y ángulos iguales.
A continuación, utilizamos esta definición para definir "regular" en tres dimensiones:
Poliedros regulares son aquellos con regulares congruentes caras, con un número constante de reunión en cada vértice.
¿Cómo debemos definir "regular" $4$-dimensiones polytopes?
Tratamos de imitar las definiciones anteriores; su $3$dimensiones de las caras (facetas) deben ser regulares congruentes polytopes de una dimensión menor, pero lo que debemos hacer de los vértices? Es suficiente decir que "un número igual de facetas cumplir en cada vértice", o puede que la configuración de las facetas de empezar a jugar un papel, en la dimensión $4$ o más? Peor aún, ¿necesitamos hablar de cualquier cosa, además de los vértices, con el fin de garantizar la simetría deseamos describir?
Así, en lugar de buscar un teorema que dice, "La configuración de las facetas de la reunión en un vértice no afectar la regularidad, sólo el número. Además, sólo los vértices de la materia, para construir una regular polytope de pequeñas dimensiones regulares polytopes", suponiendo un teorema aún existe, adoptamos una sucinta (aunque de manera más abstracta) de la definición de la regularidad.
Se define un indicador de una $d$-dimensiones polytope $\mathcal{P}$ a ser una secuencia de caras
$$F_0 \subseteq F_1 \subseteq \ldots f_{d - 1} \subseteq F_d$$
de $\mathcal{P}$, la cara $F_k$ tener dimensión $k$. Entonces decimos que la
Un polytope es regular si su grupo de simetría actúa transitivamente sobre el conjunto de sus banderas.
Si nos tomamos el tiempo para realmente entender esta definición, es que describe exactamente la propiedad más detallado de las definiciones de captura. No sólo cada $k$-dimensiones de la cara de nuestro polytope "el mismo aspecto", pero cada "cadena" de las caras: Cada una de las $k$-dimensiones de la cara tiene exactamente la misma relación con sus componentes $(k-1)$dimensiones de las caras, y nuestro polytope es tan simétrica como sea posible.
Así, mientras que puede tomar un poco más de tiempo para analizar la definición inicialmente, se puede describir regular polytopes de cualquier dimensión con facilidad, sin tener que recurrir a una definición recursiva de la regularidad de las facetas y algún tipo de "pegar" las instrucciones sobre cómo las facetas que deben ser ensamblados.
