función de Bessel

Question

Tengo un problema con el cálculo (o a la delimitación de la anterior) de la siguiente integral: $$ \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{J_2(x)}{x^2}\right)^p\, dx, \quad p\geq 1, $$ donde $J_2(x)$ es una función de Bessel {http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function}.

Cualquier idea será muy útil.

Gracias.

Answer 1

Una idea sencilla es usar la serie de Taylor de $\frac{J_2(x)}{x^2}$: $$f(x)=\frac{J_2(x)}{x^2}=\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m}{4^{m+1}\,m!(m+2)!}x^{2m}$$ luego aproximado de la LHS, con la función de $\frac{1}{8}\exp\left(-\frac{x^2}{12}\right)$: $$g(x)=\frac{1}{8}\exp\left(-\frac{x^2}{12}\right)=\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m}{8\cdot 12^m\,m!}x^{2m}.$$ La aproximación es bastante buena:

$\hspace1in$ $\hspace2in\quad\;\; \frac{J_2(x)}{x^2}\text{ against }\frac{1}{8}e^{-x^2/12}$

y esto lleva a: $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)^p\,dx \approx \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)^p\,dx = \frac{1}{2^{3p-1}}\sqrt{\frac{3\pi}{p}}.\tag{1}$$

Es posible comprobar que el $\frac{f(x)}{g(x)}\in(0,1]$ cualquier $x\in I=[-5,5]$: desde las dos integrales fuera de $I$ son muy pequeñas, se espera que el $(1)$ siempre tiene como límite superior:

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{J_2(x)}{x^2}\right)^p\,dx \leq\frac{1}{2^{3p-1}}\sqrt{\frac{3\pi}{p}}.$$