¿Qué son exactamente esos "dos números irracionales" $x$ y $y$ tal que $x^y$ ¿es racional?

Question

Es posible demostrar de forma no constructiva que existen números irracionales $x$ y $y$ tal que $x^y$ es racional, pero esa prueba sólo demuestra que tales números existen y no especifica cuáles son.

¿Qué es un constructivo prueba de que hay dos números irracionales $x$ , $y$ tal que $x^y$ es racional, es decir, ¿qué son esos números?

Answer 1

Dejemos que $x=3^{1/2}$ y $y=\log_{3}(4)$ . Entonces $x^y=2$ .

La prueba de que $x$ es irracional es familiar. Para $y$ Supongamos que $y=p/q$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos. Entonces $3^{p/q}=4$ Así que $3^p=4^q$ . Esto es imposible, ya que $4^q$ es par y $3^p$ es impar.

Answer 2

Dejemos que $x = \mathrm{e}$ y $y = \ln(2)$ entonces $x^y = \mathrm{e}^{\ln(2)} = 2$ .