$a,b$ $G$ tiene orden finito. ¿Entonces es el orden de $ab, ba, a^{-1}b^{-1}$ con condiciones finitas?

Question

Dado que dos elementos $a,b$ en un grupo de orden finito, son los verdaderos siguientes:

1. $ab = ba \implies ab$ tiene orden finito.
2. $ab$ tiene orden finito $\implies ba$ tiene orden finito.
3. $ab$ tiene orden finito $\implies a^{-1}b^{-1}$ tiene orden finito.

No estoy seguro de dónde empezar. ¿Debo estar tratando de manipular la entidad a la derecha con la asunción a la izquierda de cada frase hasta que algún poder de él es igual a la identidad?

Answer 1

Una idea es una buena manera de acercarse a las cosas.

Echemos un vistazo a cada uno de los casos en turno. Usted sabe que $a$ $b$ tiene orden finito, por lo que existen $m,n\in\mathbb{N}$ tal que $a^n=b^m=e$ (donde estamos assuminng el grupo está escrito multiplicatively y que ha elemento de identidad $e$).

1) Si se supone que $ab=ba$, entonces ¿qué sabe usted acerca de la $(ab)^2=abab$.? Puede usted encontrar una manera de escribir esto en el formulario de $a^rb^s$ algunos $r,s$.? Puedes hacer algo similar para $(ab)^i$ para un valor arbitrario de $i$.? Usted debe ser capaz, y entonces usted puede utilizar su suposición de que $a^n=b^m=e$ encontrar un " $i$ tal que $(ab)^{i}=e$.

2) Si $ab$ tiene orden finito, entonces usted sabe que hay una cierta $j$ tal que $(ab)^j=e$. Usted puede usar esto para determinar algo acerca de $(ba)^{j+1}$. Trate de trabajar de esto y la escritura en la forma $b^ra^s$ algunos $r,s$. A continuación, usted debe ser capaz de demostrar la parte (2).

3) Suponiendo que han resultado de la parte (2), ¿qué sabe usted acerca de la $(ba)^{-1}$. En particular, ¿qué sabe usted acerca de si $(ab)$ (y, por tanto, por la parte (2) $(ba)$) tiene orden finito?

Answer 2

Todo es cierto.

1. Digamos que $o(a)=n,o(b)=m$. Si $ab=ba$ y $(ab)^k=abab\ldots ab=a^kb^k$. ¿Hay cualquier s.t. de $k \in \mathbb{N}$$a^k=1 \ \text{and} \ b^k=1$? Si el orden de $ab$ es finito.
2. Aquí observar que $(ba)^k=baba\ldots ba=b(ab)(ab)\ldots (ab)a=b(ab)^{k-1}a$ así si $o(ab)=r$ y $(ba)^{r+1}=ba \Rightarrow (ba)^r=1$.
3. Observe que $a^{-1}b^{-1}=(ba)^{-1}$ lo uso 2. Si $(ab)^r=1 \Rightarrow (ba)^r=1 \Rightarrow ((ba)^{-1})^r = ((ba)^r)^{-1}=1$.

Answer 3

Sí, su estrategia es un buen comienzo y ya que parece que sólo están buscando una pista lo mantengo corto. Por ejemplo, dado que el $ab=ba$ sigue que $(ab)(ab)=a(ba)b=a(ab)b=a^2b^2$. Más generalmente (probar por inducción), $(ab)^n=a^nb^n$. Así, si el orden de $k$ $a$ y $r$ es el orden de $b$ y $(ab)^{(kr)}=e$ y $ab$ tienen orden finito. Igualmente puede acercarse a las otras dos declaraciones.

Answer 4

Las dos últimas preguntas son un caso particular de algo más general, llamada conjugacy.

Dos elementos $g, h\in G$ son conjugadas si existe alguna $k\in G$ tal que $k^{-1}gk=h$. A menudo nos escriben $g\sim h$ para la relación de equivalencia, y $g^k:=k^{-1}gk$.

Tenga en cuenta que "empezar a conjugar" es una relación de equivalencia. Voy a escribir $o(g)$ por el orden de los elementos $g\in G$.

Lema: Si $h=g^k$$o(h)=o(g)$.

Prueba: de Esta manera se sigue inmediatamente del hecho de que $h^n=(g^k)^n=(g^n)^k$.

Ahora podemos utilizar este lema a demostrar que los puntos (2) y (3), de la siguiente manera.

• Para el punto (2), $(ab)^a=ba$ así que usted puede utilizar el Lema de inmediato.

• Para el punto (3), $(a^{-1}b^{-1})^{a^{-1}}=b^{-1}a^{-1}=(ab)^{-1}$$a^{-1}b^{-1}\sim (ab)^{-1}$. Como $o(g)=o(g^{-1})$, por lo que se hace.