Encontrar una buena cobertura que su levantamiento es todavía una buena cobertura

Question

Deje $Y$ ser un equipo compacto colector, $X$ topológico, espacio y $f: X \to Y$ un surjective mapa. Supongamos, además, que cada punto en $Y$ ha arbitrariamente pequeña abrir los barrios que sus preimages en $X$ son contráctiles.

Bajo estas condiciones, podemos encontrar una buena cobertura para la $Y$ de manera tal que su preimagen es también una buena cobertura para la $X$ (es decir, de tal manera que las intersecciones finitas de abrir establece en la portada es contráctiles)?

Esto se seguiría fácilmente si la preimagen de un contráctiles subespacio en $Y$ era todavía contráctiles, pero he sido incapaz de probar esto o para encontrar un contraejemplo.

Answer 1

Yo estaba pensando acerca de este problema para un par de días...pero todavía no he tenido ninguna respuesta adecuada...pero uno de mis amigos me sugieren alguna idea que creo que puede ser útil para los demás, para pensar más allá.

básicamente en este problema si puedo reemplazar la fibra de arbitrario pequeña nighbourhood por la fibra de un punto, a continuación, haga DOBLE PEINE ESPACIO (http://topospaces.subwiki.org/wiki/Double_comb_space) es un buen ejemplo contrario (con la proyección del mapa en el intervalo)...