Estoy tratando de encontrar la manera de probar que todos los números racionales son números verdaderos enfermos reales o repetición, pero tengo una gran dificultad en hacerlo.
Cualquier ayuda será muy apreciada.
¡Gracias!
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Michael Hardy
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128804
Recordemos que en la división larga, se obtiene un resto en cada paso: $$ \begin{array} & & & 0 & . & 2 & 2 & 7 & 2 \\ \hline 22 & ) & 5&.&0&0&0&0&0 \\ & & 4 & & 4 \\ & & & & 6 & 0 & \leftarrow \\ & & & & 4 & 4 \\ & & & & 1 & 6 & 0 \\ & & & & 1 & 5 & 4 \\ & & & & & & 6 & 0 & \leftarrow & \text{repeating}\\ \end{array} $$ 6 es un resto. La próxima resto es de 16. A continuación, el siguiente es de 6. Esto nos trae de vuelta a donde estábamos en un paso anterior: la División de 60 por 22. Tenemos que obtener la misma respuesta que nos dieron en la anterior ocasión. Por lo tanto, tenemos la repetición de "27". La respuesta es $0.2272727\overline{27}\ldots$, donde "27" se repite.
La pregunta entonces es: ¿por Qué debemos siempre volver a un resto que hemos visto antes? La respuesta es que la única manera posible de restos se $0, 1, 2, 3, \ldots, 21$ (si $22$ es lo que estamos dividiendo) y hay sólo un número finito. Si disponemos de 0, el proceso termina. Si nunca llegamos 0, sólo tenemos 21 de posibilidades, así que podemos ir en la mayoría de los 21 pasos sin ver una en la que hemos visto antes. Tan pronto como tengamos una en la que hemos visto antes, de que comience la repetición.
Una pregunta relacionada con la pena preguntarse es cómo usted sabe que cada repetición decimal corresponde a un número racional. E. g., si estás entregó $0.2272727\overline{27}\ldots$ "27" repetir para siempre, ¿cómo saber que es exactamente $5/22$? Hay un algoritmo simple para eso.
SUGERENCIA$\ $ Considerar lo que significa para un real $\rm\ 0\: < \: \alpha\: < 1\ $ tener un decimal periódico expansión:
$\rm\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \: \alpha\ =\ 0\:.a\:\overline{c}\ =\ 0\:.a_1a_2\cdots a_n\:\overline{c_1c_2\cdots c_k}\ \ $ en radix $\rm\:10\:$
$\rm\qquad\qquad\iff\quad \beta\ :=\ 10^n\: \alpha - a\ =\ 0\:.\overline{c_1c_2\cdots c_k}$
$\rm\qquad\qquad\iff\quad 10^k\: \beta\ =\ c + \beta$
$\rm\qquad\qquad\iff\quad (10^k-1)\ \beta\ =\ c$
$\rm\qquad\qquad\iff\quad (10^k-1)\ 10^n\: \alpha\ \in\ \mathbb Z$
Por lo tanto, para mostrar que un racional $\rm\:\alpha\:$ tiene un periódico expansión, es suficiente para encontrar $\rm\:k,n\:$ como es arriba, es decir, de modo que $\rm\ (10^k-1)\ 10^n\:$ sirve como denominador para $\rm\:\alpha\:.\:$ Puesto $\rm\:\alpha\: = a/b,\:$ $\rm\: b = 2^i\:5^j\ d,\:$ donde $\rm\:2,5\:\nmid d\:.\:$ Eligiendo $\rm\:n\: >\: i,\ j\:$ asegura que $\rm\:10^n\:\alpha\:$ no tiene factores de $\rm\:2\:$ o $\rm\:5\:$ en su denominador. Por lo tanto permanece para encontrar algo de $\rm\:k\:$ tal que $\rm\:10^k-1\:$ va a cancelar el resto de factor de $\rm\:d\:$ en el denominador, es decir, que los $\rm\:d\:|\:10^k-1\:,\:$ o $\rm\:10^k\equiv 1\pmod{d}\:.\:$ Desde $\rm\:10\:$ es coprime a $\rm\:d\:,\:$ por el de Euler-Fermat teorema podemos optar $\rm\:k = \phi(d)\:,\:$, lo que completa la prueba de dibujo. Por el contrario, ver a esta respuesta.
DiGi
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1925
En primer lugar, está claro que sólo necesitan mirar adecuada fracciones. Ahora veamos el algoritmo de la división larga para calcular la expansión decimal de un número racional. En cada etapa se obtiene un resto. ¿Qué pasa si usted consigue un resto de $0$ en algún momento? ¿Si usted no recibe siempre un resto de $0$, puede cada vez diferentes restos para siempre, o debe repetir un resto en algún momento? ¿Qué pasa si usted consigue un resto repetido?
Ozgurv
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Restos deben ser menor que el divisor. Así, por ejemplo, si se divide el numerador por el denominador, n, los restos solos pueden mentir entre 0 (en cuyo caso la división finaliza) y n-1. ¿Qué pasa si te quedas sin restos (es decir, ha utilizado todos los números entre 1 y n-1)? Se enfrenta División de algún resto, r, n otra vez. Has estado allí y hecho eso para que sepas el resto lo siguiente (por lo tanto, el siguiente dividendo) será. Y así sucesivamente...
