¿Diferencia entre Anillo y Álgebra?

Question

En matemáticas, quiero saber cuál es efectivamente la diferencia entre un anillo y un álgebra ?

Answer 1

Un anillo $R$ tiene operaciones $+$ y $\times$ satisfaciendo ciertos axiomas que no voy a repetir aquí . Un álgebra (asociativa) $A$ también tiene operaciones $+$ y $\times$ satisfaciendo los mismos axiomas (no necesita una identidad multiplicativa, pero este axioma tampoco se asume siempre en los anillos), más una operación adicional $\cdot\;\colon R\times A\to A$ , donde $R$ es un anillo (a menudo un campo) que satisface algunos axiomas haciéndola compatible con la multiplicación y la suma en $A$ . Hay que pensar en esto como un análogo de la multiplicación escalar en los espacios vectoriales.

Nótese también que existen álgebras no asociativas, por lo que los axiomas sobre la multiplicación pueden debilitarse respecto a los de los anillos.

Como resumen vago, la estructura algebraica de un anillo es enteramente interna, pero en un álgebra también hay estructura procedente de la interacción con un anillo externo de escalares.

Answer 2

Una cosa que complica la respuesta a esta pregunta es que los anillos casi siempre se suponen asociativos, pero las álgebras a menudo no se suponen asociativas. (En otras palabras, mi impresión es que es más común permitir que "álgebra" nombre algo no asociativo que usar "anillo" para significar algo no asociativo).

Las álgebras no asociativas no son raras: Álgebras de Lie y Álgebras de Jordan son álgebras no asociativas comunes.

Las álgebras asociativas tampoco son raras: Todos los anillos $R$ ¡es un álgebra asociativa sobre su centro!

Ambas estructuras pueden o no estar definidas para tener una identidad, así que pasaremos por alto esa característica.

Esta es mi opinión (aunque creo que la respuesta de Matt Pressland ya es bastante buena). $R$ es un anillo conmutativo.

Un asociativo $R$ -Álgebra $A$ es ciertamente un anillo, y un álgebra no asociativa puede seguir contándose como un anillo no asociativo.

El ingrediente extra es un $R$ estructura de módulos en $A$ que juega bien con la multiplicación en $A$ . (Esto fue bien descrito antes por Matt P: efectivamente, son como "escalares").

En pocas palabras, que la acción del módulo y la compatilidad es descrita por un homomorfismo de anillo de $R$ en el centro de $End(A)$ el anillo de endomorfismos aditivos de $A$ .

Answer 3

Para un anillo conmutativo $k$ , a $k$ - álgebra es un anillo $A$ junto con un dato adicional: un homomorfismo de $k$ en el centro de $A$ .

La definición permite álgebras no asociativas si se permiten anillos no asociativos. El caso más conocido se da cuando $k$ es un campo, y la forma correcta de pensar en el caso general es como una familia algebraica de álgebras sobre campos -una por cada ideal primo de $k$ .

Answer 4

En los contextos a los que estoy acostumbrado, los anillos se definen para tener una constante $1$ y los axiomas correspondientes que la convierten en una unidad multiplicativa. Las álgebras, sin embargo, no.

Y aunque se puede hablar de (para algún anillo fijo $R$ ) "anillos sobre $R$ ", al igual que las "álgebras sobre $R$ ", esta última frase es mucho más común que la primera.