¿Si $H\leq G$, que $n$ $f_n: H/nH\to G/nG$ un isomorfismo?

Question

Aquí es una cuestión de un viejo prelim estoy teniendo problemas con..

Supongamos $G$ es un grupo abelian y $H\leq G$ tal que $[G:H]=m<\infty$. Para cualquier $n\geq 1$ definir el mapa de $H\to G/nG$ mediante la composición de la inclusión $H\to G$ naturales y la proyección de $G\to G/nG$. Desde $nH\leq nG$, esto induce a un homomorphism $f_n:H/nH\to G/nG$$f_n(h\mod nH)=h\mod nG$.

(1) Mostrar que si $\gcd(n,m)=1$, $f_n$ es un isomorfismo.

(2) Demostrar que si $\gcd(n,m)>1$, $f_n$ no es surjective.

Para (1), mi plan es mostrar que $|\ker f_n|$ divide tanto a a $n$ $m$ y por lo tanto debe ser $1$ por el mcd condición. Entonces tendríamos $f_n$ es un inyectiva homomorphism entre los dos grupos de tamaño $n$, por lo tanto, un isomorfismo.

$|\ker f_n|$ sin duda divide $n$ por Lagrange, ya que es un subgrupo de $H/nH$ que tiene orden de $n$.

Me siento como que estoy haciendo mal estado con la definición de núcleo de este mapa...

$\ker f_n=\{h+nH:h+nG=nG\}=\{h+nH:h\in nG\}=\{ng+nH:g\in G\}$

Es esta tercera definición del kernel OK? Si es así ¿cómo puedo demostrar que $|\ker f_n|$ divide $m=[G:H]$? Sé que $[nG:nH]=m$. Supongo que esto será útil, pero no veo cómo.

(2) sólo tenemos que encontrar, por ejemplo (supongo que esto sería más fácil), a la izquierda coset de $nH$ que no es $nH$ que se asigna a la identidad de $nG\in G/nG$. Me siento como una mejor comprensión de (1) me ayudaría a encontrar un elemento de (2).

Answer 1

1) algunos consejos:

tienes un mapa: $H\longrightarrow G/nG$ dada por la composición del % de inclusión $H\rightarrow G$y el % de surjection $G\rightarrow G/nG$. ¿Qué es el núcleo del mapa?

Entonces debe saber que el mapa inducido: $H/nH\longrightarrow G/nG$ es inyectiva. ¿La hipótesis en $m$ y $n$ está relacionado con la suprayectividad del mapa: Si $|G/H|$ tiene orden de coprime $n$, lo que puede decir del orden de los elementos de $H$?

Answer 2

1. Si $n, m$ son coprime, entonces no existe $a, b \in \mathbf Z$ tal que $an + bm = 1$. Así que usted puede escribir cada elemento $x \in G$ $$ x = (an)x + (bm)x. $$ Como Rolando dice, es probable que sea mejor buscar en el núcleo de el mapa de $H \to G/nG$. Ahora, si $y$ está en el núcleo, a continuación, $y = nx$ algunos $x \in G$. Sería genial si tuviéramos $x \in H$. Afirmo que esto se deduce de la expresión anterior y el hecho de que $m$ es un exponente de la imagen de la $x$$G/H$. Si usted hace eso, demostrando surjectivity debe ser clara.

2. Deje $p$ ser un primer dividir ambos $n$$m$. Parece más fácil demostrar que en esta situación, la multiplicación por $n$ no es surjective en $G/H$. De hecho, este es un homomorphism y por Cauchy teorema no es un elemento de $G/H$ tener período de $p$.