Operador inverso quántum

Question

En el problema del oscilador armónico cuántico, cómo uno haría calculando

$$\left\langle n\left|\frac{1}{X^2}\right|n\right\rangle$$

¿utilizando levantando y bajando los operadores $a^{\dagger}, a$, donde $X\propto a + a^{\dagger}$ es una combinación lineal de los operadores de elevación y descenso?

También sería útil si alguien me podría referir a los materiales en las propiedades de las funciones de los operadores cuánticos.

Answer 1

El operador $X^{-2}$ existe y es auto-adjunto como se desprende de la norma espectral de la teoría. Su dominio es $$D(X^{-2}) := \left\{\psi \in L^2(\mathbb R, dx) \:\left|\: \int_{\mathbb R} x^{-4} |\psi(x)|^2 dx \right.< +\infty\right\}$$ y sobre la misma $$(X^{-2}\psi)(x) := x^{-2}\psi(x)\:.$$ Las funciones propias del operador Hamiltoniano del oscilador armónico son de la forma $\psi_n(x) = H_n(x) e^{-x^2/2}$ (con `normalizado" los valores de las magnitudes físicas, $m,\omega, \hbar$ que aparecen en la fórmula de Hamilton), donde $H_n$ es un polinomio de grado $n$. Por lo tanto, sólo polinomios $H_n$ que pueden ser factorizados como $x^2Q_n(x)$ donde $Q_n(x)$ es un polinomio de grado $n-2$ definir los elementos de $D(X^{-2})$. El $H_n$ son bien conocidos de los polinomios de Hermite. Se sabe que $H_{2n}(0) \neq 0$ $H_{2n-1}(x)$ tiende a $0$ con el mismo orden como $x$$x\to 0$. Por lo tanto, no $\psi_n$ pertenece a $D(X^{-2})$ $\langle \psi_n|X^{-2}\psi_n\rangle$ no existe.

El uso de los operadores de $a$ $a^\dagger$ es delicada y, en un sentido, peligroso para este tipo de problemas matemáticos, debido a que las identidades como $$X^n= c^n(a+a^\dagger)^n$$ sólo en un subdominio $D$ $D(X^n)$ dado por la (denso) finita del espacio de todas las funciones $\psi_n$, incluso si la restricción de $X^n$ a dicho subdominio completamente determins $X^n$ sí (como $D$ es un núcleo de $X^n$).

Sin embargo, sospecho que usted está interesado en $\langle X^{-2} \rangle_{\psi_n}$,es decir, la expectativa de valor de $X^{-2}$ en el estado representaed por $\psi_n$.

Para este fin, es importante destacar que, si $\psi \in D(A)$ (y yo de ahora en adelante suponer que $\psi$ está normalizado), a continuación, $$\langle A\rangle_\psi = \langle \psi| A \psi\rangle\:.\tag{1}$$ Sin embargo, la definición general de $\langle A\rangle_\psi$ no requieren $\psi \in D(A)$, pero $\psi \in D(\sqrt{|A|})$ es suficiente y en este caso $$\langle A \rangle_\psi := \int_{\sigma(A)} \lambda d\mu^{(A)}_{\psi}(\lambda)\tag{2}\:,$$ donde $\mu^{(A)}_{\psi}(E) := \langle \psi| P^{(A)}(E)\psi \rangle$ con $E\subset \sigma(A) \subset \mathbb R$ un conjunto de Borel y $P^{(A)}$ el espectral medida de $A$, por lo que el $A = \int_{\sigma(A)} \lambda dP^{(A)}(\lambda)$. Si $\psi \in D(A)$ que es un subconjunto de a $D(\sqrt{|A|})$, resulta que, como los físicos teóricos que asumen a partir de cero, (1) es verdadera, howerver la verdadera definición de la $\langle A \rangle_\psi$ (2).

En el caso de que $A= X^{-2}$, utilizando la definiciones que uno encuentra $$\langle X^{-2} \rangle_\psi := \int_{\mathbb R} x^{-2} |\psi(x)|^2 dx$$ siempre el integrando es absolutamente integrable lo que significa $\psi \in D(\sqrt{|X^{-2}|})$. Este es el caso de $n= 2k+1$ al $\psi=\psi_n$ porque $x^{-2} |\psi_{2k+1}(x)|^2$ está delimitada en un neighborood de $x=0$ como se dijo anteriormente.

Suponiendo que, uno puede ir en formalmente. Por ejemplo (con $c$ anterior) $$\langle X^{-2} \rangle_{\psi_{1}} = c^{-2} \langle \psi_0| a \frac{1}{(a+a^\dagger)^2} a^\dagger \psi_0 \rangle = c^{-2} \langle \psi_0| (a+ a^\dagger) \frac{1}{(a+ a^\dagger)^2} (a+ a^\dagger) \psi_0 \rangle = c^{-2} \langle \psi_0|\psi_0\rangle =c^{-2}$$ El cálculo de $\langle X^{-2} \rangle_{\psi_{2k+1}}$ puede ser organizado de manera similar a partir de $$\langle X^{-2} \rangle_{\psi_{2n+1}} = \frac{c^{-2}}{2n+1} \langle \psi_0| (a+a^\dagger) a^{2n} \frac{1}{(a+a^\dagger)^2} (a^{\dagger})^{2n}(a+a^\dagger)\psi_0\rangle$$ y tomar ventaja de CCR.

Answer 2

a la hora de definir $X=a+ a^\dagger$, $\frac{1}{X}$ y ningún poder de los mismos no existen.

Prueba:

Considera que el estado es $\left|x\right\rangle\propto e^{-a^{\dagger 2} + 2 x\, a^\dagger}\left| 0\right\rangle$, se puede demostrar que los $X\left|x\right\rangle = x \left|x\right\rangle$, y, en particular, si usted elige $x=0$,$X\left|x=0\right\rangle = 0$.

Ahora desde la enseñanza elemental de álgebra lineal, un operador con un autovalor cero es singular y no invertible, que es $X^{-1}$ no existe.

edit: si nos brillante sobre la pregunta abstracta de invertibility (debido a las sutilezas del infinito espacio de hilbert), usted puede ver el $$X^{-1}X=1$$ \begin{align} \Rightarrow X^{-1}&\left|1\right\rangle = \left|0\right\rangle\\ X^{-1}&\left(\left|0\right\rangle+\sqrt{2}\left|2\right\rangle \right) = \left|1\right\rangle \\ X^{-1}&\left(\sqrt{2}\left|1\right\rangle+\sqrt{3}\left|3\right\rangle \right) = \left|2\right\rangle \\ \ldots \end{align} para convencer a ti mismo que estas condiciones son mutuamente incompatibles, en el sentido de que no se puede escribir una ampliación de los poderes de $a$ $a^\dagger$ que satisfaga esta condición. (equivalentemente, escriba $\left\langle n |X|n'\right\rangle$ en forma de matriz y convencer a ti mismo que no puede multiplicarse por cualquier matriz que da unidad)

Answer 3

Ali ministerio de salud de la respuesta es agradable. Aquí está una perspectiva diferente.

Déjame olvidar por completo sobre la creación y annhilation operadores y tratar de construir este elemento de la matriz utilizando la función de onda para el oscilador armónico. Voy a interpretar $X$ ya que la posición del operador (ya que parece que lo que tienes en mente).

A continuación, vamos a echar un vistazo a esta expectativa de valor en el estado fundamental \begin{equation} \mathcal{E}_0 = \langle 0 | \frac{1}{X^2} | 0 \rangle \end{equation} El estado fundamental de la función de onda es $\langle x | 0 \rangle = \psi(x) = \pi^{-1/4} e^{-x^2/2}$. Así \begin{equation} \mathcal{E}_0 = \int_{-\infty}^{\infty} dx \psi^*(x) \frac{1}{x^2} \psi(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty dx \frac{e^{-x^2}}{x^2} \end{equation} Esta integral diverge. Para ver esto podemos poner un límite en el límite inferior: \begin{equation} \mathcal{E}_0[\epsilon] = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_\epsilon^\infty \frac{e^{-x^2}}{x^2} = 2\left(\frac{1}{\epsilon} - \sqrt{\pi} + O(\epsilon)\right) \end{equation} Para mí esto se ve relacionado con el problema de que Ali ministerio de salud identificados, en ese $|x\rangle$ es un cero vector propio de a$X$, por lo que debemos ser cuidadosos en cerca de $x=0$. Empíricamente (es decir, probar los primeros 10 o así en mathematica), parece que la integral diverge para todo, incluso,$n$. (El extraño $n$ expectativa de valores sólo son cero, debido a que la función de onda es extraño en ese caso).

Un enfoque alternativo es el de regular su operador de tal manera que es inverible. Es decir, en lugar de invertir $X^2$, vamos a invertir $X^2 + \ell^2$ donde $\ell$ es una constante con dimensiones de longitud.

Entonces \begin{equation} \mathcal{E}_0 = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty \frac{e^{-x^2}}{x^2 + \ell^2} = \frac{\sqrt{\pi}}{\ell} + \cdots \end{equation} Esta es sólo una forma diferente a la regularización de la integral, pero creo que en este formulario es más claro que el problema es con el operador $1/X^2$ ser singular.