Vectores idempotentes y hermitianos en el álgebra de grupos

Question

Dejemos que $C$ sea el campo del número complejo y $G$ un grupo finito, entonces define $C[G]$ sea un espacio vectorial sobre $C$ con elementos de $G$ como base. Entonces cualquier elemento en $C[G]$ puede escribirse como $\sum_{g \in G} a_g e_g$ donde $a_g \in C$ y $g \in G$ . También tenemos una estructura de multiplicación en $C[G]$ que se desprende naturalmente de la estructura de grupo de $G$ .

Mi pregunta se refiere a una pista del ejercicio 4.4 en Teoría de la representación por William Fulton y Joe Harris, página 518:" Más generalmente, si $A = C[G]$ es un álgebra de grupo, llama a un elemento $a = \sum a_g e_g$ Hermitiano si $a_{g^{-1}} = \overline{a_{g}}$ para todos $g$ en la suma. Si $a$ y $b$ son idempotentes y herméticos, entonces $Aab \equiv Aba$ ." $a$ y $b$ en las preguntas originales son $a_{\lambda}$ y $b_{\lambda}$ definido en Joven simetrizador . En ese caso podríamos utilizar el hecho de que el simetrizador de Young es idempotente.

Si Hermitian aquí significa lo mismo para las matrices, me imagino $a$ y $b$ aquí como proyecciones ortogonales de $C[G]$ Por lo tanto, conmutan. Pero aquí $Aab$ y $Aba$ son realmente submódulos, o ideales de izquierda de $C[G]$ y estaría bien una explicación en términos de estos conceptos.

EDIT: aclarar la definición de Hermitiano.

Answer 1

Creo que, en realidad, se trata de la conmutatividad de sus "proyecciones ortogonales". Considere las dos $A\to A$ mapas lineales: $s\mapsto s\cdot a$ y $s\mapsto s\cdot b$ .

Dotación $A$ con productos escalares, tomando la base dada $(g)_{g\in G}$ como ortonormal entonces la matriz de $s\mapsto s\cdot a$ viene dada por $((g\cdot a)_h)_{g,h\in G} = \dots = (a_{g^{-1}h})_{g,h}$ , por lo que es "hermitiano" e idempotente para $a$ significa que esta matriz es efectivamente una proyección ortogonal.