Juego de Banach-Mazur: Prueba sobre estrategias para ganar

Question

Tengo que realizar una presentación acerca de la Banach-Mazur-Juego para los estudiantes de pregrado de esta semana. Todo debe de estar muy simple, así que principalmente sólo de hablar de la "original" de Banach-Mazur Juego en $\mathbb{R}$. Así que jugamos para el conjunto $ A \in \mathbb{R}$. Jugador I y II alternativa de elegir arbitraria intervalos de $I_{0} \supseteq I_{1} \supseteq \dots \supseteq I_{2n-1}$, donde el jugador I es la elección de los intervalos, incluso con el índice, y el jugador II es la elección de los tiempos parciales con impar índice.

Jugador que gana, al $\bigcap_{i \in \mathbb{N}} I_{i} \cap A \neq \emptyset$, de lo contrario el jugador II gana.

Ahora quiero la prueba, que existe una estrategia ganadora para el jugador II (que significa, una "regla", por lo que el jugador II tiene que elegir su intervalos) iff Una es pobre.

magro $\Rightarrow$ estrategia ganadora para el II es bastante fácil

estrategia ganadora $\Rightarrow$ exiguo me está dando problemas:

Las pruebas en los libros están todos muy largo y técnico. Mi asesor me dio la siguiente prueba, que creo que está equivocado o que no entiendo todavía:

Deje que el jugador I elige el primer intervalo de $I_{0}$. Luego de jugar el juego con la modificación de las funciones de $A^c$. De ello se sigue, que el jugador I tiene una estrategia ganadora, si $A^c$ es escaso en $I_0$.

(i) Mi asesor mantiene la reclamación, el de Banach-Mazur juego es simétrico (no muy seguro de que sé lo que significa), es por eso que este cambio de roles obras (también no está seguro de lo que eso significa, simplemente, que el jugador que actualmente juega para el vacío de la intersección, y el jugador II para no vacío?)

(ii) tal vez esto es realmente una cosa fácil, pero no veo donde estoy usando, que el jugador II tiene una estrategia ganadora y cómo sigue, que Una tiene que ser escaso??

Yo estaría realmente agradecido por algunos pensaron aquí antes de ir a molestar a mi asesor de nuevo...!!!

Answer 1

Esto puede ser largo y técnico, como el libro de las pruebas que usted se quejó, pero es la más sencilla prueba que yo conozco.

Suponga $\sigma$ es una estrategia ganadora para el Jugador II, y considerar todas las finito parcial juega $p$ del juego, donde (1) es I del turno siguiente, (2) todos los intervalos elegidos por he racional de los extremos, y (3) II ha jugado en conformidad con $\sigma$. Observe que el requisito de la racionalidad (2) combinado (3) se asegura de que sólo hay countably muchas de esas posiciones $p$.

Decir que un punto de $a\in A$ está "fuera" en una posición en la $p$ si es en el último intervalo de $I$ que II jugado en $p$ pero, no importa lo racional subinterval $J$ $I$ jugador que juega a continuación, el jugador II de respuesta, el uso de $\sigma$, no contendrá $a$. [Si $p$ es la posición inicial del juego, por lo que nadie ha jugado a ningún intervalo sin embargo, luego de interpretar "el último intervalo que II jugado" en el sentido de $\mathbb R$.]

Reivindicación 1: Para cada una de las $p$ como en el anterior, el conjunto de puntos de $a$ que están en $p$ es denso en ninguna parte.
Prueba: Supongamos que no, así que hay un intervalo de $K$ en el que la hacia fuera-en-$p$ puntos son densos. Desde todos los a-$p$ puntos en el último intervalo de $I$ que el jugador $II$ jugado en $p$, $K$ debe ser un sub-intervalo de $I$. Considere lo que sucede si el jugador que juega, como el siguiente paso después de $p$, racional sub-intervalo de $J$$K$. Entonces el jugador II, el uso de $\sigma$ responde con un sub-intervalo de $J$, cuyos puntos son, por definición, no fuera a $p$. Que contradice la suposición de que el a-$p$ puntos son densos en $K$. Así la Reivindicación 1 es probado.

Reivindicación 2: Cada punto de $a$ $A$ es en algunos $p$.
Prueba: Supongamos $a$ eran de un contraejemplo. En particular, $a$ no está en la posición inicial del juego, así que el jugador I puede hacer un movimiento de inicio $I_0$ tal que II de la respuesta $I_1$ con $\sigma$, contiene $a$. Desde $a$ no es en $p=(I_0,I_1)$, reproductor de $I$ puede hacer un movimiento $I_2$ tal que II de la respuesta $I_3$ $\sigma$ todavía contiene $a$. Continuando de esta manera, se produce un juego de el juego tal que $a$ es en todos el elegido intervalos. Así jugador que gana este juego aunque II,$\sigma$. Que contradice la suposición de que $\sigma$ s una estrategia ganadora para el II. Así, la Reivindicación 2 está probado.

Los dos reclamos, en conjunto, muestran que $A$ está cubierto por la countably muchos denso en ninguna parte establece, es decir, los conjuntos de a-$p$ puntos para la countably muchas posiciones $p$. Por lo $A$ es pobre.

Answer 2

Decir $A\subset \omega^\omega$ (este último en representación de los números reales $R$). Luego el juego se $G^{**}(A)$ está definido por los jugadores I y II de jugar números naturales $s_0,s_1,s_2,..\in \omega$ - jugador que los tiempos y II los impares, me gana si el resultado $f:=(s_0,s_1,s_2..)\in \omega^\omega$ $A$ lo contrario II gana (este juego es esencialmente el mismo que el de una u describen).

Decir II tiene una estrategia ganadora $\tau$,, a continuación, $A$ magro es visto como este:

Para cada $f\in A$ debe haber alguna finito de inicio de la secuencia de $u\prec f$ ( $u\in \omega^{<\omega}$ ) que se juega de acuerdo a jugador de IIs estrategia ganadora $\tau$ y después de que $\tau$ permite que el jugador II a la fuerza que $f$ no es seguido en el juego (de lo contrario sería capaz de ganar y $\tau$ no sería una ganancia startegy para II).

Definir para cada una de las $u\in \omega^{<\omega}$ jugado por $\tau$ el conjunto de todos los $f\in \omega^\omega$ II que puede evitar que después de $u$: $$K_u:=\{f\in \omega^\omega| u\prec f\text{ and after } u \text{ II can force by } \tau \text{ to leave } f\}$$

Entonces, debido a lo que dijo la primera $$A\subset\bigcup_{u\text{ by }\tau}K_u$$

Que la cobertura es contable, ya que todos los $u\in\omega^{<\omega}$ $\omega^{<\omega}$ es contable. El resto es mostrar que cualquier $K_u$ es denso en ninguna parte (mostrar que cada una de las $K_u$ está cerrado y no contiene subconjunto abierto).