Problema de conectividad

Question

Problema aquí 6.1. d a, página $359$ libro de Engelking, pegado con él por un tiempo.

Verificar que si se conecta un % de espacio $X$con la topología inducida por una métrica $p$, entonces para cada par $x,y$ de puntos de $X$ y cualquier $\varepsilon >0$ allí existe una secuencia finita $x_{1},x_{2},..,x_{k}$ de puntos de $X$, que $x_{1}=x$, $x_{k}=y$ y $p(x_{i},x_{i+1})<\varepsilon$ $i=1,2,..,k-1$.

Answer 1

Consejo. Fijar un $x\in X$. Ahora poner $$Q = \{y\in X| \exists x_1, x_2, \cdots ,x_n\in X \hbox{ with } p(x_k,x_{k+1}) < \epsilon\}.$ $ que $Q$ es ambos abiertos y cerraron en $X$. Seguirá a su resultado inmediato.

Answer 2

Se trata de una aplicación típica del lema de la cadena de mi respuesta aquí. Utilice la tapa abierta por bolas de radio $\varepsilon$ y los centros y puntos de intersección.