La siguiente fue la B6 problema de 1985 Putnam Competencia: Supongamos $G$ es un grupo finito (en virtud de la multiplicación de la matriz) de real $n\times n$ matrices $\{M_i\}, 1\leq i\leq r$. Supongamos que $$\sum_{i=1}^r tr (M_i)=0$$, prove that $$\sum_{i=1}^rM_i=0.$$
Aquí es una prueba oficial de la comisión que yo no entendía:
Lema: Vamos a $G$ ser un grupo finito de orden $r$. Deje $\rho: G\rightarrow GL(V)$ ser una representación de $G$ en algunas de las finito dimensional espacio vectorial $V$. Entonces $$\sum_{g\in G}tr \rho_g$$ is a non-negative integer divisible by $r$, and is zero iff $$\sum_{g\in G}\rho_g=0$$.
Prueba: Supongamos $\chi_1,\cdots, \chi_s$ ser irreducible personajes de $G$ $\chi= \sum_{i=1}^s a_i\chi_i$ $\psi=\sum_{i=1}^sb_i\chi_i$ ser caracteres arbitrarios. Luego por la ortogonalidad de las relaciones de los personajes, que han $$\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi(g)\overline{\psi (g)}=\sum_{i=1}^sa_ib_i$$. Aplicando esto al carácter de $\rho$ y el carácter trivial $\mathbb{1}$ muestra que $\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G}tr \rho_g$ es igual a la multiplicidad de $\mathbb{1}$$\rho$, que es un número entero no negativo. Ahora supongamos que la matriz de $S=\sum_{g\in G}\rho_g$ es distinto de cero. Elija $v\in V$$Sv\not=0$. La relación $\rho_hS=S$ muestra que $Sv$ es fijo por $\rho_h$ todos los $h\in G$. En otras palabras, $Sv$ abarca un trivial subrepresentation de $\rho$, por lo que el entero no negativo en el párrafo anterior es positiva. QED
Ahora volvemos al problema en cuestión. "Por desgracia, las $M_i$ no definen necesariamente una representación de $G$, puesto que el $M_i$ no necesita ser invertible." En su lugar necesitamos aplicar el lema de la acción de $G$ $\mathbb{C}^n/K$ para algunos subespacio $K$ ...
No entiendo wthe frase en "". No es el conjunto de $M_i$'s forma un grupo bajo la multiplicación? por qué ellos no tienen que ser invertible? La de arriba es la prueba de copia de Kedlaya, Poonen y Vakil del Putnam competencia 1985-2000. Gracias por la ayuda
