Mostrando un integral de Lebesgue existe, mientras que otro ' t.

Question

Considere la posibilidad de $$f_p(x)=x^p \exp\left(-x^8\sin^2x\right)$$

Tengo que demostrar que $f_2\in\mathscr L(0,+\infty)$ mientras $f_3\notin \mathscr L(0,+\infty)$. Ahora, estoy buscando en el caso de $p=2$. Los puntos problemáticos se $x_n=\pi n$ $n=1,2,3,\ldots$ ya que la función de los picos, con $f_p(x_n)=n^2\pi^2$. Uno tiene que mostrar que la anchura de los picos disminuye suficientemente rápido para que la función es, de hecho, integrable. Ahora, uno puede considerar el local límites en $x_n$ $$\left(\frac{x-n\pi}2\right)^2\leq\sin^2x\leq (x-n\pi)^2$$

de dónde $$\exp \left( { - {x^8}{{\left( {\frac{{x - n\pi }}{2}} \right)}^2}} \right) \geqslant \exp \left( { - {x^8}{{\sin }^2}x} \right) \geqslant \exp \left( { - {x^8}{{(x - n\pi )}^2}} \right)$$

y luego nos rompen cada integral a $n\pi\pm\dfrac \pi 2$.

Así, por un cambio de $x\mapsto x+n\pi$ uno de los extremos de ups mirando las integrales $$ \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {y + n\pi } \right)}^2}\exp \left( { - {{\left( {y + n\pi } \right)}^8}{y^2}} \right)dx}=A_n \\ \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {y + n\pi } \right)}^2}\exp \left( { - {{\left( {y + n\pi } \right)}^8}{{\left( {\frac{y}{2}} \right)}^2}} \right)dx} =B_n$$

y la integral en cuestión será el primer bit $[0,\pi/2]$ delimitada por encima y por debajo, a continuación, por las sumas $$\sum_{n\geqslant 1} A_n\;\;;\;\;\sum_{n\geqslant 1} B_n$$

¿Cómo puedo limitar las integrales de encima y por debajo, respectivamente, para demostrar que la función es Lebesgue integrable? Laplace del método viene a la mente. Hay una manera mejor?

AÑADIR Mientras estamos en ello: ¿cuál es el infimum y supremum de $$A=\left\{p\in\Bbb R:f_p(x)\in\mathscr L(0,+\infty)\right\}\;\;\rm ?$$

Answer 1

La estimación central.

Consideremos la integral

$$ I(n) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \exp\left [- (y+\pi n)^8 y^2\right]\,dy, $$

donde $A > 0$ es constante. Por comodidad vamos a definir $$f_n(y) = -A(y+\pi n)^8 y^2.$$ Note that $f_n(0) = 0$ and $f_n(y) < 0$ for all $s \[- \pi/2,\pi/2]\setminus\{0\}$ if $n \geq 1$, so that $f_n(y)$ has a maximum at the point $y=0$ and hence the largest contribution to the integral $I(n)$ comes from a neighborhood of $y=0$.

Se puede demostrar que, para$3 \leq m \leq 10$$-\pi/2 \leq y \leq \pi/2$,

$$ |y|^m \leq (\pi/2)^7 |y|^3, $$

así que si definimos

$$ g_n(y) = f_n(y) + \pi^8 n^8 y^2 $$

luego se sigue de la desigualdad de triángulo que

$$ |g_n(y)| \leq Un 9 \binom{8}{4} (\pi/2)^7 n^7 |y|^3 $$

para $-\pi/2 \leq y \leq \pi/2$. En otras palabras,

$$ f_n(y) = - \pi^8 n^8 y^2 + O\a la izquierda(n^7 y^3\right). \etiqueta{1} $$

Esto sugiere que debemos centrar nuestra atención en el intervalo de $y \in \left[-n^{-7/3},n^{-7/3}\right]$, en el intervalo en el que podemos escribir

$$ \exp\left[O\a la izquierda(n^7 y^3\right)\right] = 1 + O\a la izquierda(n^7 y^3\right). \etiqueta{2} $$

La contribución del resto de los intervalos es infinitamente pequeño. De hecho,

$$ \begin{align} \int_{n^{-7/3}}^{\pi/2} \exp\left[-A(y+\pi n)^8 y^2\right]\,dy &\leq \left(\frac{\pi}{2}-n^{-7/3}\right) \exp\left[-A\left(n^{-7/3}+\pi n\right)^8 n^{-14/3}\right] \\ &< \frac{\pi}{2} \exp\left(-An^{10/3}\right), \end{align} $$

y lo mismo para $\left[-\pi/2,-n^{-7/3}\right]$. La combinación de este con $(1)$ $(2)$ hemos

$$ \begin{align} I(n) &= \int_{-n^{-7/3}}^{n^{-7/3}} \exp\left[-A(y+\pi n)^8 y^2\right]\,dy + O\left(e^{-An^{10/3}}\right) \\ &= \int_{-n^{-7/3}}^{n^{-7/3}} \exp\left[-A\pi^8 n^8 y^2\right]\,dy + O\left(n^7 \int_{-n^{-7/3}}^{n^{-7/3}} |y|^3 \exp\left[-A\pi^8 n^8 y^2\right]\,dy\right) \\ &\qquad + O\left(e^{-An^{10/3}}\right). \tag{3} \end{align} $$

Para estas integrales vamos a añadir las colas durante los intervalos de $\left(-\infty,-n^{-7/3}\right)$ $\left(n^{-7/3},\infty\right)$ y, al hacerlo, contribuyen sólo un exponencialmente pequeño error.

Podemos encontrar una constante$B$, de modo que $|y|^3 \leq B \exp\left[\frac{A}{2}\pi^8 n^8 y^2\right]$ todos los $y$, por lo que

$$ \begin{align} \int_{n^{-7/3}}^{\infty} |y|^3 \exp\left[-A\pi^8 n^8 y^2\right]\,dy &\leq B \int_{n^{-7/3}}^{\infty} \exp\left[-\frac{A}{2}\pi^8 n^8 y^2\right]\,dy \\ &= Bn^{-7/3}\int_1^\infty \exp\left[-\frac{A}{2}\pi^8 n^{10/3} z^2\right]\,dz \\ &< Bn^{-7/3}\int_1^\infty \exp\left[-\frac{A}{2}\pi^8 n^{10/3} z\right]\,dz \\ &= Bn^{-7/3}\,\frac{2\exp\left[-\frac{A}{2}\pi^8 n^{10/3}\right]}{A\pi^8 n^{10/3}} \\ &= B\,\frac{2\exp\left[-\frac{A}{2}\pi^8 n^{10/3}\right]}{A\pi^8 n^{17/3}} \end{align} $$

Este método también muestran que

$$ \int_{n^{-7/3}}^{\infty} \exp\left [- \pi^8 n^8 y^2\right]\,dy = O\a la izquierda(n^{-17/3} \exp\left [- \pi^8 n^{10/3}\right]\right), $$

y por la simetría de estas estimaciones también tienen a la hora de integrar en el intervalo de $\left(-\infty,-n^{-7/3}\right)$.

Así

$$ \begin{align} &\int_{-n^{-7/3}}^{n^{-7/3}} |y|^3 \exp\left[-A\pi^8 n^8 y^2\right]\,dy \\ &\qquad = \int_{-\infty}^\infty |y|^3 \exp\left[-A\pi^8 n^8 y^2\right]\,dy + O\left(n^{-17/3} \exp\left[-\frac{A}{2}\pi^8 n^{10/3}\right]\right) \\ &\qquad = 2\int_0^\infty y^3 \exp\left[-A\pi^8 n^8 y^2\right]\,dy + O\left(n^{-17/3} \exp\left[-\frac{A}{2}\pi^8 n^{10/3}\right]\right) \\ &\qquad = \frac{1}{A^2 \pi^{16} n^{16}} + O\left(n^{-17/3} \exp\left[-\frac{A}{2}\pi^8 n^{10/3}\right]\right) \end{align} $$

y

$$ \begin{align} &\int_{-n^{-7/3}}^{n^{-7/3}} \exp\left[-A\pi^8 n^8 y^2\right]\,dy \\ &\qquad = \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left[-A\pi^8 n^8 y^2\right]\,dy + O\left(n^{-17/3} \exp\left[-A\pi^8 n^{10/3}\right]\right) \\ &\qquad = \frac{1}{A^{1/2}\pi^{7/2} n^4} + O\left(n^{-17/3} \exp\left[-A\pi^8 n^{10/3}\right]\right). \end{align} $$

La combinación de este con $(3)$ y la absorción de la superfluo exponencial de los términos de error de los rendimientos

$$ I(n) = \frac{1}{A^{1/2}\pi^{7/2} n^4} + O\left(\frac{1}{n^9}\right). $$

(Para otra aplicación de este método, vea esta respuesta.)

Aplicando esto al problema en cuestión.

Queda por demostrar que

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (y+\pi n)^p \exp\left[-(y+\pi n)^8 y^2\right]\,dy \sim \pi^p n^p \a la izquierda.I(n)\right|_{A=1} $$

y

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (y+\pi n)^p \exp\left[-(y+\pi n)^8 \left(\frac{y}{2}\right)^2\right]\,dy \sim \pi^p n^p \a la izquierda.I(n)\right|_{A=1/4}, $$

que se deja como un ejercicio (Sugerencia: factor $\pi^p n^p$ en primer lugar, a continuación, vinculado $$1-\epsilon < (1+y/\pi n)^p < 1+\epsilon$$ for $n$ large enough). We may then conclude by your estimates that $f_p \en \mathscr{L}(0,\infty)$ if $-1 < p < 3$ and $f_p \noen \mathscr{L}(0,\infty)$ if $p \geq 3$ or $p \leq -1$.