Encuentra el límite de esta función como $x\to\infty$

Question

Demostrar que si una secuencia de números reales $(a_n)$ converge a $g$ entonces $\text{lim}_{x\to\infty}e^{-x}\sum_{n=0}^{\infty}a_n\frac{x^n}{n!}=g$ .

No sé exactamente cómo hacerlo. Intenté mirar las sumas parciales primero $\sum_{n=0}^ka_n\frac{x^n}{n!}$ . Para un $x$ Supongo que esto converge a una función $g\cdot l(x)$ donde $\frac{l(x)}{e^x}\to 0$ como $x\to\infty$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo mostrar esto. Intenté atar $|(a_1x+a_2x^2/2+...+a_kx^k/k!)-kx^kg|$ pero no conseguía nada. ¿Alguien tiene algún consejo sobre cómo debería empezar?

Answer 1

Tomar una $\epsilon>0.$ Entonces existe un $n_0$ tal que $|a_n - g|<\epsilon$ para todos $n>n_0$ .

$$\sum_{n=1}^{n_0} a_n \frac{x^n}{n!}+\sum_{n=n_0+1}^\infty (g-\epsilon)\frac{x^n}{n!}<\sum_{n=1}^\infty a_n \frac{x^n}{n!} < \sum_{n=1}^{n_0} a_n \frac{x^n}{n!}+\sum_{n=n_0+1}^\infty (g+\epsilon)\frac{x^n}{n!}$$

Podemos ver que $\sum_{n=n_0+1}^\infty (g+\epsilon)\frac{x^n}{n!}=ge^x+\epsilon e^x - (g+\epsilon)\sum_{n=1}^{n_0}\frac{x^n}{n!}$ . Denotemos $\sum_{n=1}^{n_0}\frac{x^n}{n!}$ como $M$ para ahorrar tiempo. Del mismo modo, podemos ver que $\sum_{n=1}^{n_0} a_n \frac{x^n}{n!}+\sum_{n=n_0+1}^\infty (g-\epsilon)\frac{x^n}{n!}$ es igual a $g e^x - \epsilon e^x + (g-\epsilon)M$ .

Así, podemos escribir, $\displaystyle \lim_{x \to \infty}[e^{-x}(ge^x - \epsilon e^x + (g-\epsilon)M + \sum_{n=1}^{n_0}a_n \frac{x^n}{n!})]<\lim_{x \to \infty}e^{-x}\sum_{n=1}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}<\lim_{x \to \infty}[e^{-x}(ge^x + \epsilon e^x + (g+\epsilon)M +\sum_{n=1}^{n_0}a_n \frac{x^n}{n!})]$

Claramente entonces, $$g-\epsilon<\lim_{x \to \infty}e^{-x}\sum_{n=1}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}<g+\epsilon$$ .

Esto demuestra el resultado.

Answer 2

$$e^{-x}\sum_{n=0}^{\infty}a_n\frac{x^n}{n!}=e^{-x}\sum_{n=0}^{\infty}(a_n-g+g)\frac{x^n}{n!}=e^{-x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_n\frac{x^n}{n!}\right)+g$$

donde $b_n:=a_n-g$ tiende a $0$ y tenemos que demostrar que el primer término tiende a cero.

Entonces, para cualquier $\epsilon>0$ Hay un $N$ tal que $n\ge N\implies|b_n|<\epsilon$ y

$$\left|\sum_{n=0}^{\infty}b_n\frac{x^n}{n!}\right|<\left|\sum_{n=0}^{N-1}b_n\frac{x^n}{n!}\right|+\epsilon\sum_{n=N}^{\infty}\frac{x^n}{n!}<|S_N|+\epsilon e^x.$$

Así que para cualquier $\epsilon$ hay un número finito de $S_N$ tal que

$$\lim_{x\to\infty}e^{-x}\left|\sum_{n=0}^{\infty}b_n\frac{x^n}{n!}\right|<\lim_{x\to\infty}e^{-x}(|S_N|+\epsilon e^x)=\epsilon.$$