¿Para qué? $a$ y $b$ es $9x^4-12x^3+28x^2+ax+b$ ¿un cuadrado perfecto?

Question

Si $9x^4-12x^3+28x^2+ax+b$ es un cuadrado perfecto, halla el valor de $a$ y $b$ . Esta es una de las preguntas de mi examen del año pasado, ¿alguna ayuda al respecto? (La respuesta a este problema es $a=-16$ , $b=16$ .)

Answer 1

$9x^4-12x^3+28x^2+ax+b=(3x^2+cx+d)^2=9x^4+6cx^3+(c^2+6d)x^2+2cdx+d^2$

Así que $c=-2, d=4$ y $a=2cd=-16, b=d^2=16$

Answer 2

Puedes intentar escribir el polinomio como $(3x^2 + \alpha x + \beta)^2$ y resolviendo para $\alpha$ y $\beta$ .

Answer 3

Aunque no afecte al resultado final en este problema, creo que es mejor a largo plazo no suponer que el término principal es positivo. Esto pone de relieve que hay dos raíces cuadradas de un polinomio cuadrado, que difieren por el signo, al igual que con los números enteros.

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Supongamos que $9x^4-12x^3+28x^3+ax+b=g(x)^2$ para algún polinomio $g(x)$ . Dado que el grado de $9x^4-12x^3+28x^3+ax+b$ es 4, tenemos $4=\deg(g(x)^2)=2\deg(g(x))$ de modo que $g$ es un polinomio de grado 2.

Escriba a $g(x)=cx^2+dx+e$ . Entonces $$9x^4-12x^3+28x^3+ax+b=(cx^2+dx+e)^2=(c^2)x^4+(2cd)x^3+(2ce+d^2)x^2+(2de)x+e^2.$$ Así $c^2=9$ , $2cd=-12$ , $2ce+d^2=28$ , $2de=a$ y $e^2=b$ .

$c^2=9$ implica $c=3$ o $c=-3$ .

Combinado con $2cd=-12$ esto implica que $d=2$ o $d=-2$ .

Combinado con $2ce+d^2=28$ esto implica que $e=4$ o $e=-4$ .

Si $c=3$ entonces $d=-2$ y $e=4$ . Si $c=-3$ entonces $d=2$ y $e=-4$ . Así,

$$g(x)=\pm(3x^2-2x+4),$$

y $a=2de=-16$ y $b=e^2=16$ .

Answer 4

$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\dsc}[1]{\displaystyle{\color{red}{#1}}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,{\rm Li}_{#1}} \newcommand{\norm}[1]{\left\vert\left\vert\, #1\,\right\vert\right\vert} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert}$

En ese caso:

$$ 9x^{4} - 12x^{3} + 28x^{2} + ax + b =\bracks{3x^{2} + cx + \root{b}}^{2} $$

$\mbox{}$

$$ 9x^{4} - 12x^{3} + 28x^{2} + ax =\pars{3x^{2} + cx}^{2} + 2\root{b}\bracks{3x^{2} + cx} \quad\imp\quad \dsc{\large a = 2\root{b}c} $$

$\mbox{}$

$$ 9x^{4} - 12x^{3} + 28x^{2} =\pars{3x^{2} + cx}^{2} + 6\root{b}x^{2} $$

$\mbox{}$

$$ 9x^{2} - 12x + 28=\pars{3x + c}^{2} + 6\root{b}\quad\imp\quad \dsc{\large 28=c^{2} + 6\root{b}} $$

$\mbox{}$

$$ 9x^{2} - 12x =9x^{2} + 6cx\quad\imp\quad \dsc{\large c=-2} $$

$\mbox{}$

$$ \color{#66f}{\large b}=\pars{28 - c^{2} \over 6}^{2}=\color{#66f}{\large 16} \,,\qquad \color{#66f}{\large a}=2\root{16}\pars{-2}=\color{#66f}{\large -16} $$