Es este un método válido de encontrar la magnitud de la fracción compleja

Question

Si tengo una fracción compleja $\dfrac{a+bi}{c+di}$ y quiero que la magnitud, entonces va a ser $\left|\dfrac{a+bi}{c+di}\right|=\dfrac{|a+bi|}{|c+di|}$?

El principio de que ... acabo de encontrar la respuesta en otra página; sin embargo, todavía estoy claro por qué es verdad?

Answer 1

Usted puede hacer uso de los complejos de los exponentes. $$\dfrac{a+\mathrm{i} \ b}{c+\mathrm{i} \ d}=\frac{\rho_1e^{\mathrm{i} \varphi_1}}{\rho_2e^{\mathrm{i} \varphi_2}}=\frac{\rho_1}{\rho_2}e^{\mathrm{i}(\varphi_1-\varphi_2)}$$ donde $\rho_1=\sqrt{a^2+b^2}, \rho_2=\sqrt{c^2+d^2}$ son las magnitudes y $\varphi_1=\arg\{a+\mathrm{i} \ b\},\varphi_2=\arg\{c+\mathrm{i} \ d\}$ son fases de $a+\mathrm{i} \ b$ $c+\mathrm{i} \ d$ respectivamente.
Entonces a partir de la $\rho_1, \rho_2$ son reales (y positivo) y el valor absoluto de complejo exponente es $1$: $$\left| \dfrac{a+\mathrm{i} \ b}{c+\mathrm{i} \ d}\right|=\left|\frac{\rho_1}{\rho_2}e^{\mathrm{i}(\varphi_1-\varphi_2)} \right|=\left|\frac{\rho_1}{\rho_2}\right|\left|e^{\mathrm{i}(\varphi_1-\varphi_2)} \right|=\left|\frac{\rho_1}{\rho_2}\right|=\frac{\left|\rho_1\right|}{\left|\rho_2\right|}=\frac{\left|a+\mathrm{i} \ b\right|}{\left|c+\mathrm{i} \ d\right|}.$$ Por otra parte, la utilización de complejos exponentes es fácil mostrar que $$\arg\left\{\dfrac{a+\mathrm{i} \ b}{c+\mathrm{i} \ d}\right\}=\arg\left\{a+\mathrm{i} \ b\right\}-\arg\left\{c+\mathrm{i} \ d\right\}.$$ Que es cierto, ya que la $\arg\left\{\dfrac{a+\mathrm{i} \ b}{c+\mathrm{i} \ d}\right\}=\arg\left\{\frac{\rho_1}{\rho_2}e^{\mathrm{i}(\varphi_1-\varphi_2)}\right\}=\varphi_1-\varphi_2$.

Answer 2

Un enfoque más sencillo:

Deje $z_1=a+bi$$z_2=c+di$. Ya que por las propiedades de valor absoluto tenemos $|z_1z_2|=|z_1||z_2|,$ y el hecho de que $z_2(\frac{z_1}{z_2})=z_1$ entonces tenemos que $$\left|z_2\frac{z_1}{z_2}\right|=|z_1|\implies|z_2|\bigg|\frac{z_1}{z_2}\bigg|=|z_1|\implies \bigg|\frac{z_1}{z_2}\bigg|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$$

Answer 3

$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{a+bi}{c+di} * \frac{c-di}{c-di} = i (\frac{b c}{c^2+d^2}-\frac{a d}{c^2+d^2})+\frac{a c}{c^2+d^2}+\frac{b d}{c^2+d^2}$. En este punto, usted debería ser capaz de obtener la magnitud fácilmente. Sí, que va a ser engorroso cálculo sabio, pero que debe ser.

Supongamos $e = \frac{b c}{c^2+d^2}-\frac{a d}{c^2+d^2}$ $f = \frac{a c}{c^2+d^2}+\frac{b d}{c^2+d^2}$

A continuación, $\|f + ei\| = \sqrt{f^2+e^2} = \sqrt{\frac{(bc-ad)^2}{(c^2+d^2)^2} + \frac{(ac+bd)^2}{(c^2+d^2)^2}} = \sqrt{\frac{2(a^2d^2+b^2c^2)}{(c^2+d^2)^2}}$ y usted podría tomar desde allí.