Un ignorante pregunta sobre el teorema de la incompletitud

Question

Déjenme comenzar esta diciendo que tengo, básicamente, no existen antecedentes en la lógica, pido disculpas si esta pregunta es poco inteligente. Tal vez la respuesta correcta a esta pregunta es "ir a buscar en un libro de texto"; las razones por las que no lo son, que yo no iba a saber que el libro de texto para buscar en y yo no sé lo que estoy mirando, incluso si lo hacía.

De todos modos, aquí está el programa de instalación. De acuerdo a mi entendimiento (es decir, Wikipedia), Gödel primer teorema de la incompletitud dice que ninguna teoría formal cuyos axiomas formar un recursivamente enumerable conjunto y que contiene los axiomas de los números naturales puede ser completa y coherente. Deje $T$ ser una teoría, y asumir la $T$ es consistente. Entonces hay una "declaración de Gödel" $G$ $T$ lo cual es cierto, pero no puede ser probada en $T$. Formar una nueva teoría de la $T'$ obtenido a partir de $T$ colindando $G$ como un axioma. Aunque no sé cómo demostrar nada parece razonablemente probable que me $T'$ todavía es coherente, tiene recursivamente enumerable axiomas, y contiene los axiomas de los números naturales. Por tanto, aplicar el teorema de la incompletitud de nuevo se deduce que hay una declaración de Gödel $G'$$T'$.

Mi pregunta es: ¿se puede tener necesariamente $G'$ a ser una declaración en $T$? Plantea de manera diferente, podría haber una consistente teoría formal con recursivamente enumerable axiomas que contiene la aritmética y que puede llegar a ser todo verdadero aritmética declaración, aunque no puede demostrar todas sus propias declaraciones verdaderas? Si esto es teóricamente posible, hay ejemplos conocidos o de los candidatos?

Gracias de antemano!

Answer 1

Tienes razón en que $T'=T+G$ debe ser coherente. Si no, entonces podríamos probar una contradicción de $T$ junto con $G$, lo que equivaldría a una prueba por contradicción de $\neg G$$T$. Pero eso contradice el hecho de que $G$ es independiente de $T$!

Por otro lado, cuando se pregunta a

Plantea de manera diferente, podría haber una consistente teoría formal con recursivamente enumerable axiomas que contiene la aritmética y que puede llegar a ser todo verdadero aritmética declaración, aunque no puede demostrar todas sus propias declaraciones verdaderas?

que no puede ser, porque la declaración independiente $G$ producido por Gödel de la construcción es siempre una instrucción aritmética. ($G$ a menudo es popularmente se explica como afirmar algo acerca de provability o no, lo que es correcto según van ... pero el logro más importante de Gödel del trabajo es mostrar cómo tales afirmaciones pueden ser expresados como la aritmética declaraciones).

En efecto, si la teoría original de $T$ era algo así como la Aritmética de Peano, el lenguaje de la teoría no permite aún el estado de cualquier sentencia que no es la aritmética-y ninguna cantidad de agregado axiomas puede cambiar eso.

Answer 2

Desde la sentencia de $G$ que se agrega es una frase de la lengua de $T$, el mismo de diagonalización procedimiento que se metió $G$ puede ser utilizado para producir una sentencia de $G'$ de la clase que usted describe. El lenguaje no se ha extendido, por lo $G'$ es, sin duda, "la pena de $T$." Más bien, es una frase de la lengua de $T$. (Para decir "oración de $T$" podría entenderse que es un teorema de $T$, que definitivamente no es el caso).

Como parte de una respuesta a su segunda pregunta, el Teorema de la Incompletitud se aplica a cualquier "bastante fuerte" de primer orden de la teoría. Así que no hay forma recursiva axiomatized de primer orden consistente de la teoría que demuestra que todos los enunciados que son verdaderos en los números naturales. Estándar de la teoría de conjuntos ZFC es recursivamente axiomatized, por lo que (si cumple) no es lo suficientemente fuerte como para demostrar todos los enunciados que son verdaderos en los números naturales.

Answer 3

Si usted tenía una teoría, $T$, con un recursivamente enumerable axioma conjunto, y que se han resuelto por completo toda la aritmética preguntas, entonces, si el conjunto de la aritmética preguntas es recursivamente enumerable en $T$, usted podría enumerar recursivamente todos los aritméticos de las declaraciones en $T$, que es comprobable en $T$, y por lo tanto, usted tendría una r.e. la enumeración de un conjunto completo y coherente arithmentical declaraciones.

Por lo tanto, si ese $T$ existía, el mapa de las declaraciones de la aritmética de Peano declaraciones a la equivalente declaraciones en $T$ tendría que ser no-recursiva.

Una cosa buena acerca de tener un recursivamente enumerable conjunto de axiomas es que podemos enumerar el conjunto de todas las pruebas en nuestra teoría, $T$. Si tenemos un recursivamente enumerable conjunto de declaraciones en una teoría, entonces el subconjunto de tales declaraciones que puede ser comprobado también es recursivamente enumerable.