Un límite acerca de $a_1=1,a_{n+1}=a_n+[\sqrt{a_n}]$

Question

Deje que la secuencia de $\{a_n\}$ satisfacer $$a_1=1,a_{n+1}=a_n+[\sqrt{a_n}]\quad(n\geq1),$$ where $[x]$ is the integer part of $x$. Find the limit $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^2}$$ .

Agregar: Por el Stolz fórmula, tenemos $$\begin{align*} &\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}} - {a_n}}}{{2n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\left[ {\sqrt {{a_n}} } \right]}}{{2n + 1}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\left[ {\sqrt {{a_{n + 1}}} } \right] - \left[ {\sqrt {{a_n}} } \right]} \right)\\ = &\frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\left[ {\sqrt {{a_n} + \left[ {\sqrt {{a_n}} } \right]} } \right] - \left[ {\sqrt {{a_n}} } \right]} \right) = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\left[ {\sqrt {x + \left[ x \right]} } \right] - \left[ {\sqrt x } \right]} \right).\end{align*}$$ Pero parece que no uso!

Answer 1

Deje $b_n$ resolver la recursividad $b_{n+1}^2=b_n^2+b_n$, $b_1=1$. A continuación, $b_n^2\ge a_n$ I "olvidó" la función del suelo, de lo contrario, este es el original de la recursividad para $\sqrt{a_n}$). Así $$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{2} + O(b_n^{-1}) .$$ Ahora claramente $a_n\ge 1$, lo $a_n\gtrsim n$ (a partir de la recursividad), por lo $O(b_n^{-1})\lesssim n^{-1/2}$. De ello se desprende que $b_n =n/2 + O(n^{1/2})$, lo $b_n^2/n^2\to 1/4$.

Podemos igualmente vinculado a la función del suelo desde arriba por $\sqrt{a_n}+1$, lo que producirá la recursividad $c_{n+1}^2=c_n^2+c_n+1$, que pueden ser discutidas en la misma forma. Llegamos a la conclusión de que $\lim a_n/n^2=1/4$.