Esta es una pregunta que me molesta alrededor por algún tiempo ahora.
No está claro para mí lo que es el significado de un caos si consideramos un sistema cuántico.
¿Cuál es el formalismo matemático (o el quantum de la analogía) a una órbita que es ergodic en el espacio de fase? Aun así, podemos hablar de una función de onda que describe la partícula? Quiero decir, es todavía bien definidos?
Estrictamente hablando, no hay ningún caos cuántico. Tiempo de evolución es unitaria, lo que implica que los pequeños cambios en el estado no son magnificadas en tamaño. Así, la dependencia sensible a las condiciones iniciales, el requisito previo para el caos en mecánica clásica, está ausente en quantum la mecánica. Aún más, en diferentes sistemas cuánticos con un finito-dimensional espacio de Hilbert (el caso estudiado exclusivamente en la teoría de información cuántica), la dinámica es estrictamente cuasiperiódicos.
Por otro lado, hay un tema llamado quantum caos. Sin embargo, no describe cómo un sistema cuántico es caótico, pero ¿cómo reconocer si un sistema cuántico podría convertirse en un caos en el límite clásico. (La mayoría de los estudios son sólo números, con muy poco soporte teórico.) Este tipo de investigación puede ser interesante en sí, pero tiene muy poca relevancia a la física, como la clásica el límite no es realmente relevante para los sistemas que necesitan un cuántica descripción.
El papel http://mathnt.mat.jhu.edu/zelditch/Preprints/QEM4.pdf por Steve Zelditch encuestas resultados teóricos en cuanto analógica de clásica ergodicity, de nuevo sólo en relación con la cuestión de si el límite clásico produce un ergodic sistema.
Abra Problema 4 en la página.12 define una clase particular de sistemas cuánticos para ser "quantum única ergodic" si el tiempo promedio y el espacio promedio se diferencian por un operador compacto, mientras que la clásica ergodicity requiere a ser igual. Pero la última propiedad es crucial para justificar la mecánica estadística, donde macrocopically, uno debe promedio de más de el tiempo, por lo que el sistema parece homogénea.
Por lo tanto clásica ergodic y la mezcla de las propiedades son físicamente relevantes, como ayudan a explicar por qué clásico de la mecánica estadística de trabajo. Pero cuántica ergodicity no hace el mismo servicio para cuántica estadística la mecánica.
Hay una forma diferente, más abstracto de la línea de investigación que parafrasea
ergodicity en operador de lenguaje, que tiene una físicamente significativa
quantum analógica aún lejos de la clásica régimen, aunque no directa
dinámicas de pertinencia. Esto se presenta, por ejemplo, en el tratado
"Los métodos de la física matemática moderna" por Reed y Simon, en
Las secciones II.5 y VII.4 del Volumen I (con interesantes Notas p.62 y
p.244) y la Sección XIII.12 de Volumen 4 (con Notas p.350ff).
En el caso clásico, se puede escribir de la dinámica en el espacio de fase $\Omega$ formalmente en el operador de forma considerando los operadores de $A(t)$ que se asigna un espacio de fase de la función de $\psi(z)$$\psi(z(t))$, donde $z(t)$ es el punto de llegar de $z$ por la clásica dinámica en el intervalo de tiempo $[0,t]$. Este operador conserva Liouville medida y la positividad de $\psi$. Así pues, tenemos un parámetro 1-grupo de los operadores, por lo tanto $A(t)=e^{-tH}$ para algunos generador infinitesimal $H$ aniquilación de la constante de funciones. Por lo tanto 0 es un valor propio de a $H$, y por Perron-Frobenius de la teoría, es el menor autovalor. La dinámica es ergodic iff 0 es un autovalor simple. De hecho, $H\psi=0$ iff $U(t)\psi=\psi$ todos los $t$ fib $\psi$ es constante en las órbitas.
Esto es equivalente a la exigencia de que $\phi^* A(t)\psi>0$ si $\phi,\psi$ son cero y no negativos y $t$ es lo suficientemente grande. Así, se puede (y, esencialmente, Reed/Simon hacer) llamar a un parámetro 1-el grupo de $A(t)$ ergodic si este posee propiedad.
Esto tiene un analogure en el quantum caso (Reed/Simon, Teorema XIII.44). El lugar de $H$ es tomado por el Hamiltoniano, ahora actuando en el espacio de configuración de funciones sólo, y para una gran clase de tales Hamiltonianos, $A(t)=e^{-tH}$ (sin las acostumbradas $i$, es decir, correspondiente a "tiempo imaginario" $t$) es la positividad de la preservación. Ellos nos demuestran que ergodicity es equivalente a la singularidad de la el estado del suelo.
Tenga en cuenta que clásicamente, la falta de ergodicity a menudo se muestra en la existencia de un adicional conservado variable más allá de las funciones de la de la energía. Esto se extiende a la cuántica caso en que la existencia de tales un adicional de simetría invalida el ensemble canónico como el único equilibrio del conjunto. Para tener equilibrio, esta conservada la cantidad también debe tener un valor fijo.
Estos resultados también son relevantes para constructivo QFT en 2 dimensiones; ver la QFT libro de Glimm y Jaffe. También se discuten las implicaciones de la falta de unicidad de la tierra del estado. En la teoría cuántica de campos, el estado es el vacío del estado. Si el vacío no es único, hay diferentes fases.
Caos en Mecánica Clásica significa que un sistema es extremadamente sensible a las condiciones iniciales. Hay un montón de diferentes maneras posibles de un sistema puede evolucionar hacia y sería exactamente el tiempo reversible después de correr todo el tiempo que desee.
En la mecánica Cuántica, a mi conocimiento, no puede ser, posiblemente, el tiempo reversible. La mecánica cuántica describe todos los posibles estados de un sistema cuántico puede ser dependiendo de lo que el potencial de comenzar con. Si el potencial inicial es su "inicial" de la condición, entonces se puede obtener diferentes estados posibles que su sistema cuántico puede estar en. Tienes razón, en QM, es muy claro en cuanto a lo del caos iba a decir!
No he estudiado el tiempo-dependiente de la Mecánica Cuántica en profundidad, se lo advierto, pero por lo que sé, si se permitiera que una función de onda para sentarse allí y que no interactúa con nada, entonces simplemente permanecer de la misma manera para siempre!
Depende de lo que usted está modelando y las posibilidades de que usted está considerando. En la vida real, sabemos, por supuesto, que la función de onda definitivamente interactuar con algunos potenciales en todo mentira y su función de onda se alteran constantemente y cuando intenta averiguar algo sobre el sistema cuántico, están alterando demasiado.
En el Clásico del Caos, un sistema puede ser alterado tanto que puede ser extremadamente radical a su condición inicial, pero lo que se conserva es que su tiempo reversible! Echando un vistazo a un sistema cuántico, también puede ser alterado tanto que resultaría extremadamente radical a su estado inicial así. Aunque se puede hacer un sistema cuántico volver al mismo estado, no es la misma cosa como el tiempo de la reversibilidad. En conclusión, no creo que la definición de Caos puede ser aplicado a QM, creo que su reservados a la Mecánica Clásica.
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