exceso de un triángulo

Question

En el triángulo inscrito círculo con un radio de $r = 1$ y uno de los lados $a=3$. Encontrar el mínimo área del triángulo? Ans = 5.4

Mis razonamientos:

$BC = a$, $AC = b$, $AB = c$

$AD=AF=x$

$FC=CE=y$

$BD=BE=z$

$a=z+y$, $b=x+y$, $c=x+z$

El radio de la circunferencia inscrita es $$r =\frac{A_{ABC}}{s}$$ where $s = \frac{a+b+c}{2} = x + y+ z$. By condition $z+y=3$ so $s=x+3$

Por la fórmula de Herón, el área del triángulo es $A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

En el otro lado de la $A=sr = x+3$.

¿Qué es lo siguiente? Creo que debo conseguir una función para que yo pueda encontrar un mínimo, pero no sé cómo.

Answer 1

Que estábamos en el camino correcto.
Mediante su notación, $A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{(x + 3)xyz}$, pero también se $A = x + 3$. Así $$\begin{align} \sqrt{(x + 3)xyz} &= x + 3, \\ xyz &= x + 3, \\ x &= \frac{3}{yz - 1}. \end{align}$$

Sustituyendo en $A$ tenemos $$A = \sqrt{\left(\frac{3}{yz - 1} + 3\right)\frac{3}{yz - 1}yz} = \sqrt{\frac{3yz}{yz - 1}\cdot\frac{3}{yz - 1}yz} = \frac{3yz}{yz - 1} = \frac{3}{yz - 1} + 3.$$

Finalmente, por AM-GM tenemos límite inferior: $$A = \frac{3}{yz - 1} + 3 \geqslant \frac{3}{\frac{(y + z)^2}{4} - 1} + 3 = \frac{3}{\frac{9}{4} - 1} + 3 = \frac{12}{5} + 3 = \frac{27}{5} = 5.4$$

Porque es AM-GM, la igualdad se alcanza cuando el $y = z = 1.5$

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P. S. Usted puede preguntarse, ¿por qué para algunos valores de $y$ $z$ expresión $\frac{3}{yz - 1}$ puede convertirse en infinito o negativo. ¿No es extraño? Además, yo en silencio se supone que es positivo. Y hay una razón para eso.
Positivos los valores de $\frac{3}{yz - 1}$ corresponden a la situación que usted describe: un círculo de inscribir en un triángulo.
Cuando se convierte en infinito dos lados $AB$ $AC$ convertido en paralelo.
Y por último, cuando es negativo, el círculo no es un encírculo, se convierte en excírculo.

Answer 2

Trigonométricas enfoque:

En su notación,

$AD=AF=x$, $FC=CE=y$, $BD=BE=z$,

indicar además

$\alpha=\angle OAF=\angle OAD$, $~~~\beta=\angle OCF=\angle OCE$, $~~~\gamma=\angle OBE=\angle OBD$.

Por lo tanto, si $r=1$, luego $x=\dfrac{1}{\tan\alpha}$, $~~~y=\dfrac{1}{\tan\beta}$, $~~~z=\dfrac{1}{\tan\gamma}$.

Entonces, como usted dijo, $$ A=r(x+y+z)=r(x+3)=x+3. $$

$$ x = \dfrac{1}{\tan(90^\circ - \beta\gamma)} = \tan(\beta+\gamma) = \dfrac{\tan\beta+\tan\gamma}{1-\tan\beta\tan\gamma}. $$ Dividiendo el numerador y el denominador por $(\tan\beta\tan\gamma)$, obtenemos: $$ x=\frac{z+y}{yz-1}=\frac{3}{yz-1}. $$

$$ A=x+3=\frac{3}{yz-1}+3. $$

Más pensamientos - como en la respuesta de ElThor.