Suma de cuadrado de valores absolutos de raíces de un polinomio

Question

Si$\alpha_1,\dots,\alpha_n$ son raíces de un polinomio$$P(z)=z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_{n-1}z+1,$$then how can one express the sum $$|\alpha_1|^2+\dots+|\alpha_n|^2$$in terms of $ a_i $ 's?

Gracias.

Answer 1

quizás esta identidad de Lagrange puede ser útil:

$$\sum_{1\le i<j\le n}|a_{i}-a_{j}|^2=n\sum_{i=1}^{n}|a_{i}|^2-|a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}|^2$ $ por lo que sólo encontramos esta forma cerrada$$\sum_{1\le i<j\le n}|a_{i}-a_{j}|^2$ $