¿Son los conjuntos simplemente predicados con azúcar sintáctico?

Question

¿Están de acuerdo los matemáticos en que "los conjuntos son solo predicados con azúcar sintáctico"?

Si no, ¿por qué no? Quiero decir, puedo traducir entre $ x \in S $ y $ S(x) $. ¿Cambiará eso la corrección de una demostración?

¿Hay algún matiz en matemáticas a nivel universitario que haga necesaria la distinción?

Answer 1

La teoría de conjuntos es una forma de lógica, y la lógica es una forma de teoría de conjuntos. En mi opinión esto se hace más claro en la forma de teoría de categorías.

Sin embargo, no esperaría que el matemático "típico" fuera lo suficientemente fluido en lógica formal para lidiar con esto cómodamente.

En mi opinión, el matemático típico trabaja en lógica de primer orden encima de (algún fragmento de) ZFC. Tener dos "universos" así es algo sutil y confuso y mantener una distinción clara entre "predicado" y "conjunto" es cómo el matemático típico los mantiene separados.

Answer 2

Depende de los axiomas que estés usando. En ZF, el predicado $S(x) = \text{True}, \forall x$ no corresponde a un conjunto.

Answer 3

Depende de tu marco de trabajo, pero en matemáticas estructuralistas, los conjuntos y predicados son muy diferentes. Aquí está la explicación:

Idea 0. Los conjuntos forman una categoría. Se llama $\mathbf{Set}$.

Idea 1. Dado un objeto $X$ de la categoría $\mathbf{Set}$, definimos una nueva categoría $\mathrm{Sub}(X)$ de la siguiente manera:

• un objeto $\mathfrak{a}$ consiste en un conjunto $\overline{\mathfrak{a}}$ equipado con una inyección $\eta_\mathfrak{a} : \overline{\mathfrak{a}} \rightarrow X$.

• un morfismo $g:\mathfrak{a} \rightarrow \mathfrak{b}$ consiste en una función $\overline{g} : \overline{\mathfrak{a}} \rightarrow \overline{\mathfrak{b}}$ tal que $\eta_{\mathfrak{b}} \circ \overline{g} = \eta_{\mathfrak{a}}$.

Es fácil mostrar que $\mathrm{Sub}(X)$ es una categoría delgada. Esto significa que podemos tratarlo como un conjunto parcialmente ordenado; $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b}$ significa que existe un morfismo $\mathfrak{a} \rightarrow \mathfrak{b}$, y $\mathfrak{a} = \mathfrak{b}$ significa que existe un isomorfismo $\mathfrak{a} \rightarrow \mathfrak{b}$, o equivalentemente, que hay un morfismo en ambas direcciones.

Idea 2. El conjunto ordenado de valores de verdad se puede definir como $\mathrm{Sub}(1)$, donde $1$ es el conjunto con $1$ elemento.

Idea 3. Dado un objeto $X$ de la categoría $\mathbf{Set}$, definimos una nueva categoría $\mathrm{Pred}(X)$ de la siguiente manera:

• un objeto $P$ es simplemente una función $P : X \rightarrow \mathrm{Sub}(1)$.

• un morfismo $g:P \rightarrow Q$ es simplemente una garantía de que para todo $x \in X$, tenemos $P(x) \subseteq Q(x)$.

Como antes, $\mathrm{Pred}(X)$ también resulta ser una categoría delgada, para todos los conjuntos $X$.

Idea 4. Podemos ver tanto $\mathrm{Sub}$ como $\mathrm{Pred}$ como funtores $\mathbf{Set}^{op} \rightarrow \mathbf{Pos}$.

• $\mathrm{Sub}(f)$ se define tomando retrocesos: $$\mathrm{Sub}(f)(\mathfrak{b}) = f^{-1}(\mathfrak{b})$$
• $\mathrm{Pred}(f)$ se define por precomposición: $$\mathrm{Pred}(f)(P) = f \circ P$$

Idea 5. Estos funtores resultan ser naturalmente isomorfos, legitimando así el punto de vista de que "los subconjuntos y predicados son lo mismo".

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Entonces, en este lenguaje, tu pregunta se convierte en:

¿Son los subconjuntos simplemente predicados con azúcar sintáctico?

Sí, son básicamente lo mismo; una vez que tienes algunas definiciones y observaciones entendidas, al menos. De hecho, puedes cambiar entre ellos de esa manera.