¿Puede alguien indicarme una buena referencia que contenga la demostración del teorema de Hasse-Minkowski de las formas cuadráticas sobre un campo numérico? El libro "A Course in Arithmetic" de Serre tiene una demostración autónoma del teorema cuando el campo base es $\mathbb{Q}$ pero estoy buscando la configuración más general.
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YequalsX
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Según mi memoria, esto se da como un ejercicio en Cassels y Frolich (los ejercicios fueron escritos en realidad por Serre y Tate). Se utiliza el hecho de que siendo una norma en una extensión cíclica de campos numéricos se puede detectar localmente (el llamado teorema de la norma de Hasse), que trata el caso de representaciones por formas cuadráticas binarias. Las formas en más variables se manejan entonces por inducción. (Posiblemente estoy simplificando, pero ésta es la idea básica). es la idea básica).
Si he entendido bien, esto es fiel a la historia: La contribución de Hasse al teorema fue demostrarlo sobre campos numéricos, utilizando su teorema de la norma para extensiones cíclicas como entrada inicial.
Stephan Aßmus
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Además de O'Meara (se pronuncia O Marra, ¿quién lo iba a decir?), Lam (2005), Introducción a las formas cuadráticas sobre campos, da una prueba para los campos globales módulo dos resultados asumidos en la página 171.
El teorema 3.7 dice que $a$ es un cuadrado en el campo global si y sólo si es un cuadrado en cada lugar. Creo que es justo.
El teorema 3.8 dice que un álgebra de cuaterniones se divide si y sólo si se divide en cada lugar. Menciona que esto puede considerarse como un caso especial del Teorema de Brauer-Hasse-Noether o como un caso especial del Teorema de la Norma de Hasse.
Cassels, Formas cuadráticas racionales En la página 96 señala que hay campos en los que se cumple el principio de Hasse débil pero no el principio de Hasse fuerte. Luego esboza una prueba para campos numéricos en una página.
Cassels sí utiliza Dirichlet sobre los primos en las progresiones aritméticas para el capítulo 6, y Lam menciona que asumir eso sería una forma de tratar los campos numéricos; así que sugiero que como un buen ejercicio para un estudiante de posgrado, vea hasta dónde llega con el tratamiento de Lam más Dirichlet sobre los primos.
Oh, prueba el libro de Shimura de 2010 Aritmética de las formas cuadráticas si quieres hacer cosas como probar la Fórmula de la Masa.
