Probando las raíces con el Teorema del Valor Medio

Question

Stewart quiere que pruebe cosas, pero no tengo idea de cómo hacerlo.

a) Mostrar que un polinomio de grado 3 tiene como máximo tres raíces reales.

b) Mostrar que un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales.

Answer 1

Haré algunos casos de menor dimensión. Puedes construirlos.

Un polinomio de grado uno tiene como máximo 1 raíz real. Esto, lo doy por sentado.

Ahora queremos decir que un polinomio cuadrático tiene como mucho 2 raíces reales. Supongamos que tiene tres. Entonces, por el teorema del valor medio (de hecho, sólo el Teorema de Rolle), la derivada de nuestro cuadrático tiene al menos 2 raíces reales. Pero esto es una contradicción, ya que antes mencioné que un polinomio lineal tiene a lo sumo 1 raíz real. Así que una cuadrática tiene a lo sumo 2 raíces reales.

¿Ves cómo esto continúa?

Answer 2

Según el teorema de Rolles y el teorema del polinomio, cualquier polinomio de tercer grado tiene a lo sumo entre 1 y 3 raíces. Por tanto, cualquier polinomio de grado n posee al menos una raíz, ya sea real o compleja. Además, un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces. Para respaldar este argumento con el teorema de Rolles supongamos que hay tres raíces tales que $a>b>c$ . Según el teorema de Rolles debe haber un número $m$ tal que $f'(m) = 0$ entre $a$ y $b$ . Asimismo, debe haber un valor $n$ tal que $f'(n) = 0$ entre $b$ y $c$ . Esto implica que $m$ y $n$ son mínimos o máximos. Como hay dos soluciones para $f'(x)$ porque la derivada de un polinomio de tercer grado es una función de grado dos. Por tanto, el polinomio de tercer grado adquiere como máximo tres raíces reales. Si la función es dos veces diferenciada debe existir una " $c$ " entre $m$ y $n$ tal que $f"(c) = 0$ revelando así que, efectivamente, una función de tercer grado tiene al menos una raíz. Además, si se toma una función cuadrática y se analiza entre $x$ - intercepta hay un valor máximo o mínimo entre los dos afirmando así el hecho de que cuando la derivada es igual a cero hay efectivamente dos ceros por punto crítico. En consecuencia, debe haber dos p.c. para tener tres raíces reales.

Answer 3

Parte (a)

Dejemos que $f(x)=K_3x^3+K_2x^2+K_1x+K_0$ Desde $f(x)$ es un polinomio, es continuo y diferenciable en todas partes. Supongamos que $f(x)$ tiene cuatro raíces $a_1, a_2, a_3$ tal que $f(a_1)=f(a_2)=f(a_3)=f(a_4)=0$ . Por el Teroema de Rolle existe; $b_1$ en $(a_1, a_2)$ , $b_2$ en $(a_2, a_3)$ , $b_3$ en $(a_3, a_4)$ tal que $f'(b_1)=f'(b_2)=f'(b_3)=0$ . Así que, $f'(x)=3K_3x^2+2K_2x+K_1$ es también un polinomio y por tanto continuo y diferenciable en todas partes, por el Teorema de Rolle de nuevo existe; $c_1$ en $(b_1, b_2)$ y $c_2$ en $(b_2, b_3)$ tal que $f''(c_1)=f''(c_2)=0$ . Así que, $f''(x)=6K_3x+K_2$ que sigue siendo continua y diferenciable en todas partes, por el Teorema de Rolle debería existir; $d_1$ en $(c_1, c_2)$ tal que $f'''(x)=0$ Sin embargo, $f'''(x)=6K_3$ que no es cero. Así que $f'''(x)$ nunca es igual a cero y por lo tanto $f''(x)$ sólo puede tener como máximo una raíz, $f'(x)$ sólo puede tener como máximo dos raíces, y $f(x)$ sólo puede tener como máximo tres raíces.

Parte (b)

En primer lugar, todos los polinomios son continuos en todas partes y diferenciables en todas partes.

Dejemos que $f(x)$ sea un polinomio de grado $n$ , $f(x)=K_nx^n+K_{n-1}x^{n-1}+...+K_2x^2+K_1x+K_0$ . Supongamos que $f(x)$ tiene $n+1$ raíces, $a_{n+1}, a_n, a_{n-1}, ... a_2, a_1$ , de tal manera que $f(a_n)=f(a_{n-1})=...=f(a_2)=f(a_1)=0$ . Entonces, por el Teorema de Rolle, existe alguna $b_n$ en $(a_{n+1}, a_n)$ , $b_{n-1}$ en $(a_n, a_{n-1})$ ,..., $b_2$ en $(a_3, a_2)$ , $b_1$ en $(a_2, a_1)$ , de tal manera que $f'(b_n)=f'(b_{n-1})=...=f'(b_2)=f'(b_1)=0$ . Aplicando de nuevo el Teorema de Rolle existe alguna $c_{n-1}$ en $(b_n, b_{n-1})$ , $c_{n-2}$ en $(b_{n-1}, b_{n-2})$ ,..., $c_2$ en $(b_3, b_2)$ , $c_1$ en $(b_2, b_1)$ tal que $f''(c_{n-1})=f''(c_{n-2})=...=f''(c_2)=f''(c_1)=0$ . Si seguimos aplicando el Teorema de Rolle encontramos que finalmente existen dos raíces $z_2$ en $(y_3, y_2)$ y $z_1$ en $(y_2, y_1)$ tal que $f^n(a_2)=f^n(a_1)=0$ . En el sitio web $y_3, y_2$ y $y_1$ son las raíces de $f^{n-1}(x)$ . Pero $f^n(x)=n!K_n$ y así $f^n(x)>0$ para todos $x$ y así el $(n-1)$ derivada de $f(x)$ sólo puede tener una raíz. Por lo tanto, la $(n-2)$ puede tener como máximo 2 raíces, la $(n-3)$ la tercera derivada puede tener como máximo 3 raíces,..., la tercera derivada puede tener como máximo $(n-3)$ raíces, la 2ª derivada puede tener como máximo $(n-2)$ raíces, la 1ª derivada puede tener como máximo $(n-1)$ raíces y por lo tanto $f(x)$ un polinomio de grado $n$ puede tener como máximo $n$ raíces.