Común de los errores del alumno/ideas erróneas en el primer año del curso de cálculo

Question

¿Cuáles son los errores comunes y las ideas equivocadas que hacen los estudiantes en el primer año del curso de cálculo?

Lo que es más importante:

¿Qué puedo hacer para prevenir y rectificar?

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Contexto: Pronto voy a estar haciendo algunos cálculos conferencias. Como esta es la primera vez que se me ha encargado la responsabilidad de esto, he estado pensando mucho acerca de lo que puede hacer más allá de regurgitar el material. He tenido alguna experiencia de hacer tutoriales (me imagino que esto sería el equivalente a lo que un T. A. en los Estados Unidos), pero las conferencias diferentes como voy a estar presentando el material en oposición a la refuerzan. Obviamente, convirtiéndose en una buena (o incluso medio) profesor toma el tiempo y la experiencia, y no puede ser obtenida a través de una única respuesta a cualquier pregunta que yo podría pedir aquí. En lugar de eso, decidí preguntar a las preguntas anteriores.

Le pregunté a la primera pregunta porque creo que no puede con precisión contestar lo mismo hasta que le he enseñado el curso al menos una vez - prefiero ser capaces de abordar estas cuestiones, la primera vez alrededor. La segunda pregunta es más general. Hay muchos conocidos los errores que hacen los estudiantes de aprendizaje de las matemáticas, pero que son bien conocidos porque se producen con frecuencia y continuar haciéndolo a lo largo del tiempo. El hecho de que estos errores/conceptos erróneos continúan a ocurrir significa que estos problemas no han sido resueltos.

Los temas que se tratarán en el curso son:

• Ecuaciones diferenciales (separables, lineales de segundo orden de coeficientes constantes)
• Aplicaciones de Cálculo (volumen de revolución)
• Límites (no incluidas $\epsilon - \delta$ definición)
• La continuidad
• Series De Taylor

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Sé que este post puede ser demasiado general/no adecuado para este sitio. Si este es el caso, te pido disculpas.

Answer 1

Los LÍMITES de

Al introducir el concepto de límites y/o cuando se refiere a los límites, especialmente a $\lim_{x\to \infty}f(x)$ o $\lim_{x\to 0}f(x)$:

Ser muy cuidadoso explícitamente "el límite de $f(x)$ x enfoques infinito" o "el límite cuando x se aproxima a $0$", o variaciones de este (por ejemplo, el límite de $x$ se pone muy cerca de $0$...)

El punto es: tratar de evitar que se refiere a (incluso si casualmente) "el límite EN el infinito" o "el límite EN cero". El problema, claro, es que la evaluación de un límite, como, por ejemplo, $x \to a$ normalmente el/a menudo coincide con la evaluación de la función en el punto de $a$. Y así, es fácil para los estudiantes a interpretar mal lo que tener un límite en realidad significa.

Por supuesto, esto se aplica a los límites en general:

• para $\lim_{x\to a} f(x)$, lee "el límite de $f(x)$ $x$ enfoques $a$.

Tal vez otros puedan comentar sobre buenas maneras de introducir límites sin introducir demasiado conceptual de la disonancia para los estudiantes.

ÁLGEBRA errores:

"El cálculo es $90$% álgebra, y $10$% estrictamente cálculo."

Puede ayudar a comenzar el curso con una "evaluación" de los estudiantes algebraica de la competencia, y volver, o asignar la tarea de abordar las áreas en las que los estudiantes forcejeó (basado en la evaluación). Haciendo tan temprano va a ayudar a enfocar los estudiantes algebraica de la competencia, antes de que la necesite más adelante en el curso, y permiten a usted y a los estudiantes a centrarse en el recién introducido el material conceptual, y menos en la descuidado con álgebra!

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• Un pensamiento adicional: es posible Que desee incluir Spivak "Una Guía del Autostopista a Cálculo" como lectura obligatoria, o como recomienda complementar el texto que se va a trabajar. (Es un libro de bolsillo, y relativamente barato, tan lejos como los libros de texto de ir. También, es sólo 122 páginas).

  • Una vez más, Michael Spivak ha producido un maravilloso matemática el tesoro. Este tiempo que ha dejado atrás el tipo de análisis enfoque de 'Cálculo' (que es una joya) que escribió hace muchos años y que había escrito un libro para el principiante. Cubre los conceptos básicos de cálculo, y le da al lector una mejor primera introducción de muchos de los libros de texto estándar de nunca iba a reunir. - Revisión

Answer 2

Yo no siento que podría hacer justicia a todas las posibilidades en un solo post. Sin embargo, sé de un sitio web muy informativo que cubre varios de estos errores, y además cubre problemas no técnicos que los estudiantes se encuentran.

Aquí es el sitio: espero que les sea útil!

Answer 3

Aquí están algunos de los errores más comunes, y lo que más me gusta acerca de ellos. Este es, por supuesto, no pretende ser exhaustivo, pero espero que sea útil.

Integración por sustitución: los Estudiantes se olvide de cambiar los límites/sustituto de la variable original de nuevo. Me gusta escribir $$\int_a^b 2xe^{x^2}\ dx=\int_{x=a}^be^u\ du$$ to emphasize that the bounds are still in terms of $x$ and not $u$. On a similar note, I often label my bounds on multiple integrals, even when the order of integration is understood from the order of the $dx_i$.

Para las integrales impropias, los estudiantes tienden a pensar que $\infty-\infty$ "cancelar". No estaría de calcular $\int_{-1}^1\frac{dx}{x}$ tomando los límites simultáneamente en un par de maneras diferentes y mostrar que se obtienen valores diferentes.

Cuando se utiliza la integral de la prueba para la serie, los estudiantes problemas con las singularidades porque ellos no eligieron la correcta límite inferior. Para evitar este tipo de error, de hecho, me escribe $$\int_\text{who cares?}^\infty$$ y animo a mis alumnos a hacer lo mismo. Esto no solo ayuda a evitar errores, se hace hincapié en que la convergencia de la serie es una propiedad de la conducta a largo plazo no afectados por el primero de un número finito de términos.