Tres círculos dentro de un círculo mayor

Question

Digamos que el radio del círculo mayor es R. Cada círculo interior toca el perímetro del círculo mayor y de otros dos círculos. Cómo encontrar el radio de los círculos más pequeños (todos son idénticos).

Para ilustrar:

Cualquier consejo o idea sería genial.

Answer 1

La estrofa central de Soddy's Kiss Precise da la fórmula:

Cuatro círculos hasta llegar al beso.
Los más pequeños son los benter.
La curva es simplemente la inversa de
La distancia desde el centro.
Aunque su intriga dejó mudo a Euclides
Ahora no hay necesidad de una regla general.
Ya que la curva cero es una línea recta muerta
Y las curvas cóncavas tienen signo negativo,
La suma de los cuadrados de las cuatro curvas
es la mitad del cuadrado de su suma.

Aplicado aquí dice $$\frac 3{r^2}+\frac 1{R^2}=\frac 12 \left(\frac 3r-\frac 1R\right)^2\\\frac 3{r^2}+\frac 1{R^2}=\frac {9}{2r^2}+\frac 1{2R^2}-\frac 3{rR}$$ Como todo lo que podemos obtener es el cociente, dejemos $r=1$ y tenemos $$3+\frac 1{R^2}=\frac 92+\frac 1{2R^2}-\frac 3R\\0=3R^2-6R-1\\R=\frac 16(6\pm\sqrt{48})=\frac 13(3\pm2\sqrt{3})$$ y queremos el signo más.

Answer 2

Llama al radio de los círculos más pequeños $r$ . Sus centros forman un triángulo equilátero de lado $2 r$ . Los centros de los círculos pequeños están a una distancia de $R - r$ desde el centro del círculo grande, y $r$ de la gran circunferencia. Los puntos de tangencia de la circunferencia menor y la grande son también un triángulo equilátero. Creo que dibujar todos los triángulos mencionados te da suficiente en términos de ángulos para encontrar relaciones entre $r$ , $R$ y $R - r$ para conseguir $r$ por trigonometría.

Answer 3

Tal vez se pueda utilizar aquí el Teorema de Descartes: http://en.wikipedia.org/wiki/Descartes%27_theorem

Nota: También hay un círculo internamente tangente a los tres círculos tangentes.

(Obtengo (-3 + 2 √3)R = r para la relación entre la circunferencia exterior de radio R con la(s) circunferencia(s) interior(es) de radio r).

Answer 4

Dos casos más de la misma pregunta:

• Área de un círculo externamente tangente a tres círculos mutuamente tangentes
• Tres círculos tangentes dentro de un círculo mayor

El círculo interior/exterior es $3 \pm 2 \sqrt{3}$ veces el radio de los tres círculos.

Answer 5

Dejemos que $R$ es el radio del círculo que lo rodea y $r$ sean los radios de los tres círculos internos. Como los tres círculos internos se besan entre sí, sus centros forman un triángulo equilátero con lados de $2r$ . El centro de este triángulo equilátero es también el centro de la circunferencia de radio $R$ Hay un Círculo más pequeño que llena el espacio y que besa a los tres círculos interiores. Este círculo tiene un radio $z$ donde

$$R=2r+z$$

El centro del triángulo es $2/3$ longitud del vértice al punto medio del lado opuesto. Para el triángulo equilátero es $\sqrt 3 r/2$ Esto da $z$ en función de $r$ . También, $R = 2r + z$ .