Límite multivariable$\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)^{x^2y^2}$

Question

Estoy estudiando límites multivariables y tengo un problema con respecto a este límite:

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2)^{x^2y^2}.$ $ He encontrado que es igual a 1, reescribiendo el límite usando$t = e^{ln(t)}$. A pesar de esto, la respuesta en el libro es 0. ¿Cuál es la respuesta correcta?

Answer 1

Si examinamos lo que sucede cuando nos acercamos a$(0,0)$ a lo largo de la línea$x=0$, obtenemos: $$ \ lim _ {(x, y) \ a (0,0) } (x² y²) ^ {x²y²} = \ lim_ {y \ to0} (0 y ^ 2) ^ {0} = 1 $$

lo que significa que si el límite existe debe ser$y=0$.

Answer 2

Usando coordenadas polares, obtenemos

ps

así que iría con usted siendo correcto y el libro está mal. ¿Qué libro es eso, de todos modos?

Answer 3

El límite no puede ser$0$ porque si es así, entonces

$$\sqrt{x^{2} + y^{2}} < \delta \Rightarrow |(x^{2} + y^{2})^{(xy)^{2}}| < \epsilon,$% $$$x^{2} + y^{2} < \delta^{2}; x^{2}, y^{2} < \delta^{2},$ $$$(x^{2} + y^{2})^{(xy)^{2}} < \delta^{2\delta^{4}} \leq \epsilon,$ $ Si$$\delta \ln \delta = (\frac{\ln \epsilon}{2})^{1/4}.$ $ entonces$$\epsilon := 1/2$ pierde sentido.