En la página de módulo complejo de Wolfram MathWorld , encuentro una declaración interesante:
La única función que satisface las identidades de la forma$$\lvert f(x + iy) \rvert = \lvert f(x) + f(iy) \rvert$ $ es$f(z) = Az$,$f(z) = A\sin(bz)$, y$f(z) = A \sinh (bz)$.
Se refiere a un artículo que no puedo encontrar en Internet. Es trivial demostrar que estas funciones satisfacen la identidad, pero ¿por qué son las únicas?
El mathworld entrada parece contener algunos errores.
En primer lugar, el título del artículo está mal, debería ser "Una curiosa trigonométricas de identidad". El documento que está disponible de forma gratuita en jstor aquí. La idea general de la prueba es para reemplazar la función por su serie de MacLaurin.
La segunda, es que falta la crítica hipótesis de que la $f(z)$ es regular para $|z|<r$ (es de suponer que para cualquier valor positivo $r$).
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