Ejemplo de un espacio que tiene grupo fundamental con una representación específica

Question

Estoy tratando de resolver una tarea específica de encontrar un espacio con $\pi_1(X) = <a,b,c | a^2cb, abc>$ pero me interesa saber si hay una manera de pensar en esto en general. Comprendo de forma bastante intuitiva la definición de grupo fundamental y lo que significa algebraicamente una representación como ésta. Sin embargo, estoy completamente perdido cuando se trata de la geometría y de cómo se podría construir un espacio así. Estaría agradecido si alguien pudiera hacer esto o un ejemplo similar, o por cualquier consejo sobre la intuición detrás de tales construcciones.

Answer 1

Si $\pi_1(X)$ es generado por $x_1,...,x_n$ y las relaciones $R_1,....,R_m$ . Se puede construir dicho espacio de la siguiente manera: considere un ramo de $n$ -Círculos, $1$ para cada generador. Para cada relación se considera un $2$ -disco que rodea el límite a lo largo del círculo para representar la relación.

Por ejemplo, para su caso, va a construir un ramo de tres círculos $a,b,c$ dos discos $R_1,R_2$ se rodea el límite de $R_1$ dos veces qround $a$ Una vez que se ha producido $c$ y una vez alrededor $b$ . Se rodea el límite de $R_2$ una vez que $a$ Una vez que se ha producido $b$ y una vez alrededor $c$ .

Answer 2

Cualquier grupo finitamente representado, es decir, de la forma $$ G = \langle S \mid R\rangle$$ para $S$ y $R$ finito, es el grupo fundamental de un $2$ -complejo.

Para construir dicho espacio, comenzamos tomando el producto cuña de $|S|$ -muchos círculos, digamos etiquetados por los generadores (en su caso, $a,b,c$ ) con una dirección específica (digamos, "en sentido contrario a las agujas del reloj"). Esta cuña tendrá el grupo fundamental $\langle S \mid \emptyset \rangle$ .

Para obtener una relación $x_1 \cdots x_n =1$ donde $x_k \in S^{\pm 1}$ pegamos a lo largo de los límites de estos círculos un disco cuyo límite se ha dividido en $n$ segmentos correspondientes a las letras $x_1,\ldots, x_n$ y pegado a lo largo del círculo correspondiente (por lo que un $s$ componente de la frontera se pega a la $s$ -con la misma orientación, mientras que un $s^{-1}$ componente de la frontera se pega a la $s$ -círculo etiquetado con la orientación opuesta). El grupo fundamental resultante será $\langle S \mid x_1\cdots x_n\rangle$ .

Repetimos esta construcción hasta que hayamos añadido todas las relaciones. En su caso, pegamos primero un cuadrado (con interior) cuyos lados que van en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor están etiquetados $a,a,c,b$ y luego pegar un triángulo (con interior) cuyos lados que van en sentido contrario a las agujas del reloj están etiquetados $a,b,c$ .

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Para demostrar que esto da realmente el grupo fundamental adecuado de forma rigurosa, hay que utilizar el Teorema de Van Kampen.

Primero demostramos por inducción que $\langle S \mid \emptyset\rangle$ es el grupo fundamental de una cuña de $|S|$ -muchos círculos. Dejemos que $|S|=n$ . Si $n=1$ entonces esto es simplemente el hecho de que $\mathbb{Z} \cong \langle s_1 \rangle \cong \pi_1(S^1)$ . Ahora supongamos que el resultado es verdadero para $|S|=n$ y considerar $S\sqcup \{s_{n+1}\}$ . Considere la cuña $(S^1)^{\wedge (n+1)} = (S^1)^{\wedge n} \cup S^1$ , donde $(S^1)^{\wedge n} \cap S^1 = \{x_0\}$ (el punto base). A continuación, $\pi_1((S^1)^{\wedge n}) = \langle s_1,\ldots, s_n\rangle$ por hipótesis y $\pi_1(S^1) = \langle s_{n+1}\rangle$ y $\pi_1(\{x_0\}) = 1$ . Así, encontramos que \begin {equation*} \pi_1 ((S^1)^{ \wedge (n+1)}) \cong \langle s_1, \ldots , s_n,s_{n+1} \mid \emptyset \cup \emptyset \cup \{1 =1\} \rangle = \langle s_1, \ldots , s_n,s_{n+1} \rangle \end {equation*}

Ahora supongamos que tenemos un $2$ -complejo $Y_1$ con grupo fundamental $\langle S \mid R\rangle$ . Mostramos cómo introducir una relación $r = t_1\cdots t_k$ , donde $t_i = s_j^{\pm 1}$ para cada $i$ . Dejemos que $Y_2$ ser un regular $k$ -(digamos que está limitado por un disco de radio $1$ ), y etiquetar las aristas en sentido contrario a las agujas del reloj por $t_1,t_2,\ldots, t_k$ . Entonces definimos \begin {equation*} X = (Y_1 \cup Y_2)/ \sim \end {equation*} donde $\sim$ es una relación de equivalencia generada por la identificación de las aristas $t_i =s_j^{\pm 1}$ con el bucle $s_j$ (con la orientación indicada).

Escriba $X_1$ para ser la imagen de un $Y_1 \cup Y_2 \setminus \overline{B_d(0,1/2)}$ es decir $Y_1$ junto con una banda a lo largo del borde de $Y_2$ (no importa lo fina que tenga que ser, siempre que no sea trivial) y $X_2$ para ser la imagen $B_d(0,3/4)$ . Entonces dejemos que $X_0=X_1 \cap X_2$ que es la imagen de $B_d(0,3/4) \setminus \overline{B_d(0,1/2)}$ .

No se realizan identificaciones no triviales salvo entre el límite de $Y_2$ . Así, vemos que $X_0 = B_d(0,3/4) \setminus \overline{B_d(0,1/2)}$ es homeomorfo a un anillo (que es homotópicamente equivalente a $S^1$ ) y por tanto tiene grupo fundamental $\pi_1(X_0) \cong \mathbb{Z}\cong \langle s\rangle$ . $X_1$ es homotópicamente equivalente a $Y_1$ (sólo hay que reducir los bordes) por lo que tiene de grupo fundamental $\pi_1(X_1) \cong \langle S \mid R\rangle$ . $X_2$ es contráctil, por lo que tiene grupo fundamental $\pi_1(X_2) \cong \langle \emptyset\rangle = \{1\}$ .

Entonces el Teorema de Van Kampen implica que \begin {equation*} \pi_1 (X) \cong \langle S \mid R \cup \{\theta_1 (s)= \theta_2 (s)\} \rangle = \langle S \mid R \cup \N -t_1t_2 \cdots t_k = 1\} \rangle = \langle S \mid R \cup \{r\} \rangle \end {equation*}

Answer 3

Ramos de círculos le dan un suministro de espacios cuyos grupos fundamentales son grupos libres con $1$ generador para cada círculo del ramo. Por ejemplo, en tu ejemplo el ramillete de tres círculos $A$ , $B$ y $C$ tiene como grupo fundamental el grupo libre $F = <a. b, c>$ . Una palabra de relación en $F$ de longitud $n$ (por ejemplo, $abc$ con $n=3$ ) corresponde a un mapeo continuo desde las aristas de un $n$ -gon (por ejemplo, un triángulo) en el ramo (que comienza en el punto común, y luego da una vuelta $A$ , una vez que la ronda $B$ y una vez que la ronda $C$ ). Si se forma un nuevo espacio cosiendo en un $n$ -gon al ramo para cada palabra de relación utilizando estos mapeos para identificar las aristas del $n$ -gon con círculos en el ramo, se obtiene un espacio cuyo grupo fundamental es el deseado.