Demostraré una afirmación general. Sea $p(t)\in\mathbb{C}[t]$ sea un polinomio mónico de grado $n\in\mathbb{Z}_{>0}$ y supongamos que $V:=\mathcal{C}^\infty(\Omega,\mathbb{C})$ es el $\mathbb{C}$ -espacio vectorial de funciones de valor complejo en $\Omega$ , donde $\Omega$ es un conjunto abierto no vacío de $\mathbb{R}$ . Escriba $D:V\to V$ para el mapa de diferenciación: $$\big(D(f)\big)(x):=f'(x)=\left.\left(\frac{\text{d}}{\text{d}u}f(u)\right)\right|_{u=x}$$ para todos $x\in \Omega$ . Entonces, $\ker\big(p(D)\big)$ es un $n$ -dimensional $\mathbb{C}$ -subespacio vectorial de $V$ . (Incluso de forma más general, si $\Omega$ es un conjunto abierto de $\mathbb{R}$ con $c$ componentes conectados, entonces $\ker\big(p(D)\big)$ es $cn$ -sobredimensionado $\mathbb{C}$ . También, $V$ puede sustituirse por el espacio de las funciones holomorfas sobre $\Omega$ , si $\Omega$ se considera un subconjunto abierto de $\mathbb{C}$ .)
Primero, escriba $p(t)=\prod_{i=1}^k\,\left(t-z_i\right)^{m_i}$ , donde $z_1,z_2,\ldots,z_k\in\mathbb{C}$ son distintos por pares, y $m_1,m_2,\ldots,m_k\in\mathbb{Z}_{>0}$ . Definir $$p_i(t):=\left(t-z_i\right)^{m_i}\text{ and }q_i(t):=\frac{p(t)}{p_i(t)}\,.$$ Entonces, el hecho de que $$p(t)=p_i(t)\,q_i(t)\text{ and }p_i(t)\,f_i(t)+q_i(t)\,g_i(t)=1$$ para algunos $f_i(t),g_i(t)\in\mathbb{C}[t]$ implica que $$\ker\big(p(D)\big)=\ker\big(p_i(D)\big)\oplus \ker\big(q_i(D)\big)\,.$$ Por inducción, vemos que $$\ker\big(p(D)\big)=\bigoplus_{i=1}^k\,\ker\big(p_i(D)\big)\,.$$
Por lo tanto, se reduce a estudiar $\ker\big(p(D)\big)$ , donde $p(t)=(t-z)^m$ para algunos $z\in\mathbb{C}$ y $m\in\mathbb{Z}_{>0}$ . Sin embargo, considere el mapa $M_z:V\to V$ dado por $$\big(M_z(f)\big)(x):=\exp(zx)\,f(x)$$ para todos $x\in \Omega$ . Como $$p(D)=M_z\,D^m\,M_{-z}=M_z\,D^m\,\left(M_z\right)^{-1}\,,$$ $p(D)$ y $D^m$ son mapas lineales conjugados. Por lo tanto, $$\ker\big(p(D)\big)=M_z\big(\ker\left(D^m\right)\big)\,.$$ Desde $\ker\left(D^m\right)$ es $m$ -y la de los demás. $M_z$ es un automorfismo del espacio vectorial, $$\dim\Big(\ker\big(p(D)\big)\Big)=\dim\Big(\ker\big(D^m\big)\Big)=m\,.$$ De hecho, $\ker\big(p(D)\big)$ se compone de elementos de la forma $M_z(f)$ , donde $f:\Omega\to\mathbb{C}$ es una función polinómica de grado inferior a $m$ .
Alternativamente, deja que $U:=\ker\big(p(D)\big)$ . Entonces, demuestre que $p(t)$ es el polinomio mínimo de $D|_U:U\to U$ . Desde mi puesto aquí , $U$ se descompone como $$U=\bigoplus_{i=1}^m\,\ker\left(\big(D-z_i\,\text{id}_U\big)^{m_i}\right)\,,$$ si $p(t)=\prod_{i=1}^k\,\left(t-z_i\right)^{m_i}$ .
Dejemos que $\mathcal{V}$ denotan el $\mathbb{C}$ -espacio vectorial de $\mathbb{C}$ -secuencias valoradas $\left(X_N\right)_{N\in\mathbb{Z}_{\geq 0}}$ . Fijar $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}\in\mathbb{C}$ . La misma técnica puede emplearse para demostrar que las soluciones $\left(X_N\right)_{N\in\mathbb{Z}_{\geq 0}}\in\mathcal{V}$ de una relación de recurrencia $$X_{N+n}+a_{n-1}\,X_{N+n-1}+\ldots+a_1\,X_{N+1}+a_0\,X_N=0$$ para todos $N\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ formar un $n$ -dimensional $\mathbb{C}$ -subespacio vectorial de $\mathcal{V}$ .
P.D: Si quiere considerar $V_\mathbb{R}:=\mathcal{C}^\infty(\Omega,\mathbb{R})$ en su lugar, entonces utiliza el hecho de que $V=\mathbb{C}\underset{\mathbb{R}}{\otimes} V_{\mathbb{R}}$ . Es decir, si $p(t)\in\mathbb{R}[t]$ , entonces el núcleo $K_\mathbb{R}$ de $\big.p(D)\big|_{V_\mathbb{R}}:V_\mathbb{R}\to V_\mathbb{R}$ satisface $$\mathbb{C}\underset{\mathbb{R}}{\otimes} K_\mathbb{R}=\ker\big(p(D)\big)\,.$$
