Dejemos que $R$ sea un anillo. $M,N$ se dejan $R$ -tales que $M$ es isomorfo a un sumando directo de $N$ y $N$ es isomorfo a un sumando directo de $M$ . ¿Podríamos conseguir que $M \cong N$ ? (Esto es válido si $M,N$ son generados finitamente. Creo que también se cumple si $M,N$ son semisimples. Pero no tengo una prueba para el caso general).
Esto no siempre es cierto. He aquí el ejemplo más sencillo que conozco. Dejemos que $R=\mathbb{Z}$ y que $M$ sea el conjunto de todas las secuencias acotadas de elementos de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ que forman un grupo abeliano bajo adición puntual. Es fácil ver que $M\cong M\oplus\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\cong M\oplus\mathbb{Z}^2$ . Mucho menos obviamente, Jeremy Rickard demostró en MO que $M\not\cong M\oplus \mathbb{Z}$ . Tomando $N=M\oplus \mathbb{Z}$ entonces, $M$ es un sumando directo de $N$ y $N$ es un sumando directo de $M\oplus\mathbb{Z}^2\cong M$ pero $M$ y $N$ no son isomorfas.
Hay muchos otros ejemplos de fenómenos similares. Por ejemplo, por el teorema de Corner, existe un grupo abeliano $M$ tal que $M\cong M^3$ pero $M\not\cong M^2$ . Tomando $N=M^2$ tenemos entonces que $M$ es un sumando directo de $N$ y $N$ es un sumando directo de $M^3\cong M$ pero $M$ y $N$ no son isomorfas. Para referencias y alguna discusión general de resultados como estos, ver las respuestas a esta pregunta en MO .
Gracias por el contraejemplo. ¿Podríamos obtener el resultado bajo la condición de que $M,N$ son semisimples?
Sí, porque entonces $M$ y $N$ son sumas directas de módulos simples y $M$ es un sumando directo de $N$ si cada clase de isomorfismo de módulo simple no aparece más veces en $M$ que en $N$ (esto requiere algo de trabajo para demostrarlo). Entonces se deduce por Schroder-Bernstein que $M$ y $N$ tienen el mismo número de copias de cada módulo simple.
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¿Podría escribir lo que quiere decir con "sumando directo de", matemáticamente?
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@ChrisCuster Para los propósitos del OP, $M$ es un sumando directo de $N$ si existe un isomorfismo $N\cong A\oplus B$ para algunos $A$ y $B$ , donde $B\cong M$ como $R$ -módulos. (Esto evita la distinción entre interno y externo).