Grupo de unidades de $\mathbb Z\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$

Question

Como en la pregunta, estoy tratando de describir el grupo de unidades de $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$. Sé cómo se parece este anillo pero no consigo ningún resultado. No sé si es útil, pero veo que $2+\sqrt{5}$ es una unidad.

Answer 1

Aquí están algunas sugerencias (para un enfoque general que funciona en cualquier real cuadrática anillo):

Escribe una unidad de $\alpha\neq\pm 1$ $a+b\sqrt{5}$ donde $a,b$ son ambos enteros o ambos nonintegers. Exactamente uno de $\alpha,-\alpha,\alpha^{-1},-\alpha^{-1}$ es mayor que $1$. También, exactamente uno de $\pm a\pm b\sqrt{5}$ es mayor que $1$. Deducir que $\alpha>1$ fib $a,b>0$.

De ello se desprende que existe una unidad mínima $\beta$ mayor que $1$. Considere la posibilidad de cualquier otra unidad de $\gamma$, que suponemos es mayor que $1$. A continuación, $\beta^k\leq\gamma<\beta^{k+1}$ para algunos entero $k$. A continuación,$1\leq \beta^{-k}\gamma<\beta$. De minimality de $\beta$, $\beta^{-k}\gamma=1,\gamma=\beta^k$.

Por lo tanto, cada unidad es de la forma $\pm\beta^k$.

Answer 2

En un entero real cuadrático anillo como este, si un determinado número $u \neq \pm 1$ es una unidad, entonces todas las $u^n$ y $(-u)^n$ son números distintos y también unidades, con $n \in \mathbb{Z}$. Usando lo que sabes, vemos que el $u = 2 + \sqrt{5}$, $$1, 2 + \sqrt{5}, -682 + 305 \sqrt{5}, 161 - 72 \sqrt{5}, \ldots$$ are also units, as well as their reciprocals, additive inverses and additive inverses of reciprocals.

Although you now have found infinitely many units, you can't be sure you have identified all the units, and in fact you could be missing infinitely many units! Without knowing what the fundamental unit is, you are still in the dark.

What about that number $$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}?$$ Could that be the fundamental unit? As it turns out, $$N(\phi) = \frac{1}{4} - \frac{5}{4} = -1,$$ so $\phi$ is in fact a unit, though it may or may not be the fundamental unit. Also notice that $1 tan < \phi < u$ (let's use $u$ to mean the same number as before). In fact, $\phi^3 = u$.

Then $\phi^n$ and $(-\phi) ^ n $ give us infinitely many units skipped over by $u ^ n $ and $(-u) ^ n $, as well as all those units we got before. That is to say $u ^ n = \phi^{3n}$.

I hope your textbook has a detailed explanation of how to find the fundamental unit. Since I'm not in the class and can avail myself to any calculator, I just asked Wolfram Alpha: NumberFieldFundamentalUnits[GoldenRatio]. It replied: $$\frac{1}{2}(1 + \sqrt{5}).$$