¿Es correcta mi prueba? Prueba: $n^{2}$ es impar entonces $n$ es impar.

Question

Yo no creo que sea, pero no entiendo por qué.

Conjetura: $n^2 \text{ is odd} \Rightarrow n \text{ is odd}$ (*)

Prueba:

En general, $$ (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg(B) \Rightarrow \neg(A)) $$

Por lo tanto, $(n^2 \text{ is odd } \Rightarrow n \text{ is odd } \Leftrightarrow (\neg(n \text{ is odd}) \Rightarrow \neg(n^2 \text{ is odd})) $

Este es el mismo que $n \text{ is even} \Rightarrow n^2 \text{ is even}$ (✝)

¿No es así?

Si es así, entonces

$$\begin{align} n = 2m &\\ &\Leftrightarrow n^2 = 4m^2 \\ &\Leftrightarrow n^2 = 2(2m^2)\\ \end{align}$$

Por lo tanto, $n^2$ está aún por definir.

Y, ya que e probado (✝), seguramente lo hemos demostrado (*).

Yo soy un novato para pruebas y este es uno de mis primeros, así que no puedo aviso de cualquier problema evidente con ella, sin embargo, no me parecen demostrar nada - me parece estar probando algo completamente distinto. Es correcto?

Answer 1

Muy bien hecho. Sí, en efecto, #% prueba %#% es mucho más fácil que la declaración original.

Answer 2

Si $n^2$ es impar, entonces $n^2-1$ es, incluso. Puede ser expresado como: %#% $ #% Si $$n^2-1=(n-1)(n+1).$, $n$ y $n-1$ son impares, cuyo producto es también impar y contradice la condición determinada (incluso es $n+1$). Por lo tanto, $n^2-1$ es raro.

Answer 3

Sugerencia o: $\,n^2+n=n(n+1)$ siempre es uniforme, ya que uno de los dos enteros consecutivos debe ser incluso. Por lo tanto $n^2$ y $n$ siempre tienen la misma paridad y, en particular, es extraño $n^2$ % iff $n$es impar.

Answer 4

La prueba está en lo correcto, como ha sido señalado por otros y que quizás es la más simple manera de ir sobre esto, pero sólo por diversión, aquí es un poco más directa de la prueba (tratando de evitar que la prueba por contrapositivo o contradicción):

Si $n^2$ es impar, entonces $n^2+2n+1$ es incluso (impar + impar es impar). Aviso de que esto es sólo $(n+1)^2$. Esto significa que $2$ divide $(n+1)^2$ y desde $2$ es un número primo, es el que sigue a $2$ divide $(n+1)$ $n$ es impar.

Otra manera de ir sobre esto es darse cuenta de que si $n^2$ es impar, entonces puede ser escrito como $n^2=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\dots p_k^{e_k}$ donde $p_i$ son impares, números primos. Ahora $n$ es divisor de a$n^2$, por lo que también debe constar sólo de impares, números primos, por lo tanto $n$ es impar.