Identidades como $4+5+6=7+8$ y $10^2+11^2+12^2=13^2+14^2$ y así sucesivamente...

Question

Las identidades

$1+2=3$
$4+5+6=7+8$
$3^2+4^2=5^2$
$10^2+11^2+12^2=13^2+14^2$
$21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2$

son ejemplos de consecutivos de identidades. Hay consecutivos identidades con la excepción de $3^3+4^3+5^3=6^3$ para los exponentes mayor que $2?$

La identidad debe ser construido sobre la ganancia solamente.

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Consecutivos identidades $m^k+\cdots+(m+n-1)^k=(m+n)^k+\cdots+(m+2n-2)^k$ hay una brecha $\Delta^k$ entre el último número en una identidad de secuencia para el primer número en la siguiente consecutivos de identidad para k=1 y k=2: $\Delta^1=1$$\Delta^2=2n+3,\;n=1,2,\dots$ :

$1+2=3$
$4+5+6=7+8$
$9+10+11+12=13+14+15$
$16+17+18+19+20=21+22+23+24$

$1=4-3=9-8=16-15 \dots$

$3^2+4^2=5^2$
$10^2+11^2+12^2=13^2+14^2$
$21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2$
$36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2$

$10-5=2\cdot 1+3$
$21-14=2\cdot 2+3$
$36-27=2\cdot 3+3$

Creo que no es una simple continuación de la $k>2$, pero podría ser consecutivos identidades de una manera ligeramente diferente tipo, e.g:

$(1)\quad m^k+\cdots+(m+n-1)^k=(m+n)^k+\cdots+(m+2n-i)^k$ donde $i>2?$

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Examen de $(1)$ $k=3$ $1\leq m,n,i\leq 500$ sólo el rendimiento de la solución de $3^3+4^3+5^3=6^3$.

Answer 1

MÁS EDICIÓN. Para los cubos, se reduce al problema de hallar tres números triangulares, cuyas plazas están en progresión aritmética. Recordando que $$1^3+2^3+\cdots+r^3=\left({r(r+1)\over2}\right)^2=T_r^2$$ an equation of the form $$(m+1)^3+(m+2)^3+\cdots+(m+n)^3=(m+n+1)^3+(m+n+2)^3+\cdots+(m+n+k)^3$$ becomes $$T_{m+n}^2-T_m^2=T_{m+n+k}^2-T_{m+n}^2$$ which says the squares of $T_m$, $T_{m+n}$, and $T_{m+n+k}$ están en progresión aritmética.

E. g., tenemos $T_2=3$, $T_5=15$, $T_6=21$, y las plazas $9,225,441$ están en progresión aritmética, y esto corresponde a $3^3+4^3+5^3=6^3$. Si hay más ejemplos, no sé.

Todo lo que a continuación se refiere a una falta de comprensión de la pregunta, y puede omitirse.

Hay (infinitamente) muchos ejemplos de cubos consecutivos sumando a un cubo. Aproximadamente el 20 se enumeran aquí, comenzando con
$$11^3+12^3+13^3+14^3=20^3$$ $$3^3+\cdots22^3=40^3$$ $$15^3+\cdots+34^3=70^3$$ Una respuesta aquí los enlaces a Dave Rusin "sabe matemáticas" páginas, pero Rusin del sitio parece haber desaparecido de la web. Mucho de lo que Rusin tenía para el problema de la suma de cubos consecutivos de un cubo se reproduce aquí.

EDIT: Discusión de preguntas relacionadas a MathOverflow.

Answer 2

$$n^2+(n+1)^2+...+(n+k)^2=(n+k+1)^2+...+(n+2k)^2$$

Las soluciones son fáciles. $n=(2k+1)k$