Demostrar que g no tiene raíces

Question

Vi este enlace y había un problema con la primera prueba de la aceptación de respuesta, a saber: $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\raw}{\rightarrow}$ $\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\Raw}{\Rightarrow}$

Supongamos que $f:\R\raw\R$ y definir una función $g:\R\raw\R$$g(x)=1/f(x)$. Demostrar que $g$ no tiene raíces.

He encontrado esto difícil de entender. Para ciertas funciones, por ejemplo, $f(x) = x^2$ es obvio que $1/f(x)$ no tienen raíces, sin embargo, me confundió cuando se considera el caso de $f(x) = 1/x^2$, debido a que, a continuación, $g(x) = x^2$ a que una repetición de la raíz a las $(0,0)$. ¿Alguien puede explicar para mí, donde estoy cometiendo un error?

Answer 1

Como se ha dicho, no hay respuesta a la propuesta de reclamación porque el dominio de cualquiera de dichas $g$ deben ser un subconjunto de a $\Bbb R-\{0\}$ para definirlo. Por lo tanto si $g$ está definido, el rango de la función $f$ debe ser como subconjunto de $\Bbb R - \{0\}$.

Para demostrar que $g$ no tiene raíces, se puede proceder como sigue.

Si escribimos $y = f(x)$,$g(x) = 1/f(x) = 1/y$. Ahora pretendemos que $1/y \ne 0$. Si esto fuera así, entonces podríamos multiplicar por $y^2$ a ambos lados de la ecuación para obtener el $0 = y^2\cdot 0 = y^2\cdot 1/y = y$. Sin embargo, esta dice que el $y = 0$, lo cual es imposible debido a $y$ pertenece a la gama de $f$. Llegamos a la conclusión de que $g$ no tienen raíces.

---

También, que al parecer tienen algún error en la interpretación de la definición de una función. Por ejemplo, el mapa de $x\mapsto 1/x^2$ no es una función $\Bbb R\to \Bbb R$, ya que no está definido para $x = 0$.

Answer 2

El problema es un error de interpretación de la notación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$.

En la matemática moderna, la notación $f:A \to B\;$significa que $f$ es una función cuyo dominio es exactamente igual a $A$, y cuyo rango (o imagen) es un subconjunto de a $B$. En particular, si tenemos $f:A \to B$, $f(x)$ está definida para todos los $x \in A$.

Por lo tanto, la notación $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ significa que $f$ es un valor real de la función tal que $f(x)$ se define, para todos los $x \in \mathbb{R}$.

Ahora supongamos $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Si $f$ tiene una raíz real, $r$ decir, no hay ninguna función $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $g(x) = {\large{\frac{1}{f(x)}}}$, otra cosa $g(r)$ sería indefinido. Basado en esta observación, el problema necesita ser reformulado para afirmar que $g(x)$ existe. Así que vamos a suponer que la intención problema fue este:

• Probar que si $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ son tales que $g(x) = {\large{\frac{1}{f(x)}}}$, para todos los $x \in \mathbb{R}$, $f,g$ no tiene raíces reales.

La prueba es fácil . . .

Deje $r \in \mathbb{R}$.

Si $r$ es una raíz de $f$, luego $$g(r) = \frac{1}{f(r)} = \frac{1}{0}$$ que es indefinido, contrariamente a la suposición de que $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$.

Por lo tanto $r$ no es una raíz de $f$.

Si $r$ es una raíz de $g$, luego \begin{align*} &g(r)=0\\[4pt] \implies\;&\frac{1}{f(r)}=0\\[4pt] \implies\;&f(r)\left(\frac{1}{f(r)}\right)=f(r)(0)\\[4pt] \implies\;&\require{cancel} \cancel{f(r)} \left( {\small{\frac{1}{\cancel{f(r)}}}} \right)=f(r)(0)\qquad\text{[since %#%#%]}\\[4pt] \implies\;&1=0\\[4pt] \end{align*} contradicción.

Por lo tanto $f(r) \ne 0$ no es una raíz de $r$.

De ello se desprende que $g$ no tiene raíces reales.

Answer 3

$g(x):=1/f(x)$, Podemos escribir $f(x)=1/g(x)$, que $f$ ser indefinido en la raíz de $g$.