He aquí un boceto para una construcción de hormigón de un contraejemplo, probablemente cerca del resultado por Hickman que Hanul Jeon encontrado:
Si no recuerdo campo de la teoría del derecho, ZF se demuestra que existe:
- Una secuencia anidada de campos finitos
$$ \mathbb F_p = K_0 \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq \cdots $$
tal que $K_n$ $p^{2^n}$ elementos, y la única subcampos de $K_i$$K_j$$j\le i$.
- Una secuencia de generadores $g_0, g_1, g_2, \ldots$ tal que $K_n = \mathbb F_p[g_n]$.
- Una secuencia de orden-2 authomorphisms $\varphi_n$ $\cup_n K_n$ tal que $\varphi_n$ corrige $K_{n-1}$ pero no fix $g_n$, y de tal manera que todas las $\varphi_n$s de camino al trabajo.
Deje $K=\cup_n K_n$. Vamos a mostrar (suponiendo que AC no mal es suficiente), un Dedekind-campo finito que es "moralmente isomorfo" a $K$, excepto el isomorfismo no es en realidad va a existir.
Para comenzar, vamos a desarrollar un extraño "redundante" la representación de los elementos de $K$.
Primero, para cada finito $A\subseteq \mathbb N$, vamos a $\phi_A$ ser el producto de $\varphi_n$ todos los $n\in A$.
Vamos a una ruta de acceso de la media de un número finito (1-indexado) de la secuencia de $0$s y $1$s. Por un camino de $a\in\{0,1\}^n$, vamos a $g_a = \phi_{\{n\mid a(n)=1\}}(g_n)$. Este es un generador de $K_n$; las diferentes rutas del mapa a los diferentes generadores. Por diferentes rutas de la misma longitud que hemos
$$ g_a = \phi_{\{n\mid a(n)\ne b(n)\}}(g_b) $$
Una receta para un elemento $k\in K$ es un par $(a,q)\in \{0,1\}^*\times \mathbb F_p[X]$, de tal manera que $k=q(g_a)$.
Definir una relación de equivalencia $\sim$ en todas las recetas, como la simetría del cierre transitivo de
- $(a,q)\sim(a',q')$ si $|a|=|a'|=n$$ q(g_n)=q'(\phi_{\{n\mid a(n)\ne a'(n)\}}(g_n))$.
- $(a,q)\sim(a.b, q\circ r)$ donde $b\in\{0,1\}$ es arbitrario, y $a.b$ es la secuencia formada por anexando $b$ a finales de $a$, e $r$ es cualquier polinomio tal que $r(g_{|a|+1})=g_{|a|}$.
Debe quedar claro que las dos recetas están relacionadas con exactamente cuando representan el mismo elemento de $K$. Deje $[k]$ significa que la clase de equivalencia de todas las recetas para de $k$.
Podemos calcular directamente sobre la receta de clases: se debe tener claro que si tenemos dos recetas de las clases, siempre podemos encontrar un camino que está representado en cada una de ellas. (Solo tienes que elegir una ruta arbitraria cuya longitud es al menos el máximo de algunos ruta de acceso de una clase y algunos ruta de acceso de la otra). A continuación,
$$ \forall (a,q)\in [k], (a,q')\in [k'] : (a,q+q')\in[k+k'] \land (a,qq')\in[kk']$$
El punto de todo esto es que la definición de las $\sim$ - y por lo tanto la computación en represetation clases, no depende de los elementos de una ruta $\{0,1\}$ en particular, sino que sólo hay dos opciones para cada posición en un camino, que puede ser comparado por la igualdad.
Ahora, finalmente, asumir que AC no mal suficientes de que hay una contables secuencia $(A_n)$ de pares no ordenados tal que $\cup_n A_n$ no disponible. Esto es bien conocido por ser coherente con ZF.
Redefinir un "camino" para referirse a una función de $a:\{1,2,\ldots,n\}\to\cup_n A_n$ tal que $a(i)\in A_i$. La receta es todavía un par de una ruta de acceso y un polinomio, y $\sim$ se define como la anterior, excepto en que $b\in\{0,1\}$ debe ser reemplazado por $b\in A_{|a|+1}$.
Las propiedades de la edad $\sim$ las transferencias a las nuevas $\sim$ porque cada uno de ellos hablan sólo finitely largo de las rutas de un tiempo, y siempre podemos elegir un finito y lo suficientemente largo camino en $(A_i)$ a jugar el mismo papel de la $0^n$ mientras que la verificación de cada uno de los reclamos de la nueva $\sim$.
Todavía hay un conjunto de todas las recetas, y así que el conjunto de todas las recetas de las clases en $\sim$ stil existen. Cualquier dos de la receta de clases puede ser añadido, multiplicado, resta y divide exactamente igual que antes. Así que el conjunto de la receta de las clases forman un campo.
Por otro lado, este campo no puede tener un countably infinito de subcampo. Cualquier infinita subcampo tendría que contener los elementos que generen $K_n$ arbitrariamente grande,$n$, y así, en particular, de una infinita subcampo debe incluir una receta de la clase que contiene a $(a,X)$ para cada ruta de$a$.
Sin embargo, esto significaría que el conjunto de los caminos contables, lo que significaría que hay un surjection $\mathbb N\to \cup_n A_n$, lo que contradice $\cup_n A_n$ no está bien disponible.
